Оптимальные статистические решения о состоянии объекта
Пусть производится диагностика состояния объекта по случайному признаку (параметру) x. Задача состоит в выборе значения x0 параметра x таким образом, что при x > x0 следует принимать решение о снятии объекта с эксплуатации, а при x < x0 допускать дальнейшую работу.
Так как состояние характеризуется одним параметром, то объект имеет одномерное пространство признаков. Разделение производится на два класса (дифференциальная диагностика или дихотомия). Условимся считать: D1 – исправное состояние и D2 – наличие дефекта. В задаче предполагается, что параметр x имеет нормальное распределение при исправном состоянии D1 с центром распределения x̄1 и неисправном состоянии D2 с центром x̄2. Величины среднеквадратичных отклонений параметра x одинаковы и равны .
Значения параметра x случайны и могут появляться как в исправном, так и в неисправном состоянии. Поэтому существует область пересечения условных плотностей вероятностей для появления различных значений признака, как в исправном, так и неисправном состоянии. Принципиально невозможно выбрать такое значение порога принятия решений х0, при котором правило выбора решений не давало бы определенной ошибки. Задача состоит в том, чтобы выбор x0 был в некотором смысле оптимальным, например, давал наименьшее число ошибочных решений. При этом следует учитывать также стоимости ошибок. Существует несколько основных критериев оптимизации порогового значения [2]. В задаче предлагается определить оптимальное пороговое значение x0 для трех наиболее простых рассчитываемых критериев: минимума среднего риска, минимального числа ошибочных решений и наибольшего правдоподобия. Следует также построить зависимости плотности вероятности f(x/D1) и f(x/D2) и нанести на график найденные оптимальные пороги х0 для всех трех критериев.
Исходные данные для решения задачи приведены в табл.1.8.
Таблица 1.8
Исходные данные
Первая цифра номера задания |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
x̄1 |
5,8 |
6,0 |
5,4 |
7,0 |
6,8 |
7,5 |
8,0 |
8,5 |
9,0 |
10,0 |
x̄2 |
12,9 |
13,0 |
11,5 |
12,8 |
13,0 |
14,1 |
15,2 |
16,3 |
15,9 |
17,1 |
Вторая цифра номера задания |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
2,3 |
2,5 |
2,2 |
3,2 |
2,6 |
2,1 |
2,3 |
2,7 |
2,8 |
2,4 |
Третья цифра номера задания |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
C11 |
-5 |
-7 |
-6 |
-7 |
-3 |
-8 |
-4 |
-9 |
-5 |
-6 |
C12 |
150 |
160 |
190 |
180 |
170 |
200 |
140 |
130 |
120 |
110 |
C21 |
8 |
9 |
12 |
8 |
10 |
12 |
7 |
10 |
7 |
5 |
C22 |
-15 |
-12 |
-10 |
-11 |
-15 |
-18 |
-17 |
-14 |
-13 |
-9 |
Четвертая цифра задания |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
P1 |
0,9 |
0,88 |
0,92 |
0,95 |
0,94 |
0,89 |
0,93 |
0,96 |
0,91 |
0,85 |
В общем случае средний риск (ожидаемая величина потери) выражается равенством:
,
(1.1)
где P1, P2 – безусловные априорные вероятности соответственно исправного и неисправного состояния объекта; f(x/D1), f(x/D2) – условные плотности вероятности величины x, найденные при условии соответственно наличия исправного (диагноз D1) и неисправного (диагноз D2) состояний; C11, C22 – стоимости правильных решений о диагнозах (поощрения); C21, C12 – стоимости ущерба от ошибок в поставленных диагнозах.
Поиск минимума величины R по переменной величине х0 приводит к следующему отношению правдоподобия:
.
Логарифмирование последнего выражения дает логарифм отношения правдоподобия:
. (1.2)
Предполагается, что условные плотности f(x/D1), f(x/D2) распределены по нормальным законам:
;
.
Критерий минимального среднего риска. Расчет по критерию проводится в следующем порядке.
Определяется вероятность неисправного состояния
P2 = 1 - P1.
Для нормальных распределений величины x оптимальное значение порога принятия решений x0, соответствующее минимуму выражения (1.1), определяется из выражения:
.
Критерий минимального числа ошибочных решений (критерий идеального наблюдателя). Здесь предусматривается, что стоимости ущерба и стоимости правильных решений неизвестны. Тогда стоимости C11 и C22 считают равными нулю, а стоимости C12 и C21 одинаковыми. Расчет по критерию проводится в следующем порядке.
С учетом (1.2) получаем логарифм отношения:
.
Для нормальных распределений величины x оптимальное значение порога принятия решений x0, соответствующее минимуму выражения (1.1), определяется из выражения:
.
Критерий максимального правдоподобия. Предполагается, что неизвестны как стоимости ошибочных и правильных решений, а также безусловные вероятности P1 и P2, которые считают равными. Расчет по критерию проводится в следующем порядке.
С учетом (1.2) получаем логарифм отношения:
.
Для нормальных распределений величины x оптимальное значение порога принятия решений x0, соответствующее минимуму выражения (1.1), определяется из выражения:
.