Определение диагнозов состояния системы методом Байеса
В эксплуатации находится технический объект. При наблюдении за объектом проверяются два признака: k1 – повышение температуры рабочей части и k2 – уровень шума, создаваемый рабочей частью. Предположим, что появление этих признаков связано с неисправностями объекта: состоянием D1 (например, с ухудшением изоляционных характеристик) или состоянием D2 (например, с ухудшением механических характеристик). При нормальном состоянии объекта (состояние D3) признак k1 не наблюдается, а признак k2 наблюдается в n % случаев. Из статистических данных известно, что m % объектов вырабатывает ресурс в нормальном состоянии D3. При этом состояние D1 наблюдается в r % случаев, а состояние D2 – s % случаев. Известно также, что признак k1 встречается при состоянии D1 в d % случаев, а при состоянии D2 в h % случаев; признак k2 при состоянии D1 встречается в a % случаев, а при D2 в b % случаев.
Для определения вероятности диагнозов по методу Байеса [1, 2] необходимо вначале составить диагностическую матрицу, которая формируется на основе предварительного статистического материала, приведенного выше. Сведем данные в диагностическую матрицу (табл.1.4) В таблице содержатся вероятности признаков при различных диагнозах. В нашем случае признаки являются двухразрядными: наличие признака обозначается k, отсутствие – k̄. В диагностическую матрицу включены априорные вероятности диагнозов.
Приведем решение задачи для следующих значений: n% = 5, m % = 80, r% = 5, s% = 15, d% = 20, h% = 40, a% = 30, b% = 50.
Заполнение таблицы производится следующим образом.
Априорная безусловная вероятность диагноза D3:
.
Априорная безусловная вероятность диагноза D2:
.
Априорная безусловная вероятность диагноза D1:
.
Априорная условная вероятность наличия признака k1 при наличии диагноза D3:
.
Априорная условная вероятность наличия признака k2 при наличии диагноза D3:
.
Априорная условная вероятность наличия признака k1 при наличии диагноза D2:
.
Априорная условная вероятность наличия признака k2 при наличии диагноза D2:
.
Априорная условная вероятность наличия признака k1 при наличии диагноза D1:
.
Априорная условная вероятность наличия признака k2 при наличии диагноза D1:
.
Априорные условные вероятности диагнозов P(k̄j/Di) для всех случаев определяется из выражения:
,
где i – номер состояния, i =1, 2, …, n; j – номер признака.
Таблица 1.4
Диагностическая матрица
Диагноз Di |
Априорные вероятности признаков и состояний |
||||
P(k1/Di) |
P(k̄1/Di) |
P(k2/Di) |
P(k̄2/Di) |
P(Di) |
|
D1 |
0,2 |
0,8 |
0,3 |
0,7 |
0,05 |
D2 |
0,4 |
0,6 |
0,5 |
0,5 |
0,15 |
D3 |
0 |
1 |
0,05 |
0,95 |
0,8 |
Рассчитывается условная вероятность состояний, когда обнаружены оба признака:
.
Вероятность диагноза D1, когда обнаружены оба признака:
.
Вероятность диагноза D2, когда обнаружены оба признака:
.
Вероятность диагноза D3, когда обнаружены оба признака:
.
Признак k1 отсутствует, присутствует признак k2. Отсутствие признака k1 есть признак наличия k̄1 (противоположное событие).
Вероятность диагноза D1, когда обнаружен признак k2:
.
Вероятность диагноза D2, когда обнаружен признак k2:
.
Вероятность диагноза D3, когда обнаружен признак k2:
.
Вероятность диагноза D1, когда обнаружен только признак k1:
.
Вероятность диагноза D2, когда обнаружен только признак k1:
.
Вероятность диагноза D3, когда обнаружен только признак k1:
.
Проводится расчет вероятностей диагнозов при отсутствии признаков k1 и k2.
Вероятность диагноза D1, когда не обнаружен признак k1 и k2:
.
Вероятность диагноза D2, когда не обнаружен признак k1 и k2:
.
Вероятность диагноза D3, когда не обнаружен признак k1 и k2:
.
Результаты расчета сводим в табл.1.5. По результатам анализа табл.1.5 необходимо сделать вывод.
Из проведенных расчетов можно установить, что при наличии двух признаков в объекте с вероятностью 0,91 имеется состояние D2, т.е. ухудшение механических характеристик. При отсутствии обоих признаков наиболее вероятно нормальное состояние (вероятность 0,912).
Таблица 1.5
Результаты расчета*
Диагноз Di |
Условные вероятности диагнозов |
|||
P(Di/k1k2) |
P(Di/k̄1k2) |
P(Di/k̄2k1) |
P(Di/k̄1k̄2) |
|
D1 |
0,09 |
0,12 |
0,19 |
0,034 |
D2 |
0,91 |
0,46 |
0,81 |
0,054 |
D3 |
0 |
0,42 |
0 |
0,912 |
*Серым цветом выделены ячейки с наибольшими значениями вероятностей, по которым осуществляется анализ.
В табл.1.6 приведены варианты исходных данных для решения предлагаемой задачи. Вариант выбирается по двум первым (слева – направо) цифрам четырехзначного кода, задаваемого преподавателем.
Таблица 1.6
Исходные данные
Вторая цифра номера задания |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
n, % |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
m, % |
89 |
85 |
85 |
80 |
75 |
70 |
81 |
90 |
85 |
80 |
r, % |
6 |
5 |
4 |
8 |
12 |
11 |
4 |
6 |
6 |
7 |
s, % |
5 |
10 |
11 |
12 |
13 |
19 |
15 |
4 |
9 |
13 |
Четвертая цифра номера задания |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
d, % |
20 |
22 |
21 |
25 |
23 |
18 |
19 |
17 |
22 |
23 |
h, % |
40 |
38 |
39 |
35 |
39 |
36 |
41 |
37 |
36 |
31 |
a, % |
30 |
28 |
26 |
25 |
29 |
33 |
31 |
27 |
28 |
27 |
b, % |
50 |
45 |
48 |
52 |
51 |
49 |
47 |
53 |
49 |
48 |