Условные программы и стоимость диагностики
Одной из задач технической диагностики является определение таких программ обнаружения неисправных частей в объекте, которые учитывают неодинаковость вероятностей отказов отдельных блоков и различные стоимости их проверок. Учет вероятностей и стоимостей позволяет минимизировать затраты на диагностирование технического объекта, т.е. сделать процесс диагностирования оптимальным. В принципе любую техническую структуру, содержащую отдельные функционально самостоятельные блоки, можно диагностировать в любом порядке проверок отдельных блоков. Но при этом может оказаться, что выбранный порядок проверок отдельных блоков потребует завышенных затрат из-за того, что до нахождения отказавшего блока проверялись блоки с незначительной вероятностью отказа и при значительной стоимости проверок. Задача минимизации стоимости проверок решается с помощью метода «ветвей и границ» [6]. Для реализации метода требуется:
построение условных программ диагностики;
определение стоимости проведения условных программ диагностики;
определение программы диагностики с минимальной стоимостью.
В предлагаемой задаче требуется по заданной структуре функциональной модели объекта и заданной последовательности проверок построить условную программу диагностики и определить среднюю стоимость диагностики объекта при заданном порядке проверок. Предполагаются известными функциональная модель объекта, условные вероятности отказов отдельных блоков qi и стоимости отдельных проверок Ci. Варианты вероятностей отказов и стоимости проверок заданы в табл.3.6. Структура функциональной модели для всех вариантов задания выбирается единой и соответствует рис.3.1. Порядок проверок задан в табл.3.7.
Для всех вариантов заданий соблюдается условие, что сумма условных вероятностей отказа отдельных блоков модели равна единице:
.
Таблица 3.6
Вероятности отказа и стоимости проверок
Первая цифра номера задания |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
q1 |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
0,35 |
0,25 |
0,3 |
0,2 |
0,15 |
0,21 |
0,11 |
q2 |
0,3 |
0,15 |
0,2 |
0,15 |
0,3 |
0,25 |
0,3 |
0,33 |
0,22 |
0,45 |
q3 |
0,2 |
0,2 |
0,1 |
0,2 |
0,2 |
0,15 |
0,22 |
0,1 |
0,15 |
0,24 |
q4 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0,1 |
0,2 |
0,1 |
0,2 |
0,17 |
0,2 |
0,15 |
q5 |
0,1 |
0,25 |
0,2 |
0,2 |
0,05 |
0,2 |
0,08 |
0,25 |
0,22 |
0,15 |
Вторая цифра номера задания |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
C1 |
13 |
23 |
21 |
16 |
40 |
30 |
28 |
24 |
46 |
17 |
C2 |
44 |
12 |
54 |
33 |
22 |
23 |
17 |
33 |
36 |
23 |
C3 |
21 |
42 |
32 |
18 |
25 |
19 |
16 |
45 |
15 |
45 |
C4 |
18 |
30 |
14 |
27 |
16 |
21 |
51 |
12 |
27 |
13 |
Таблица 3.7
Порядок проверок
Специальный номер задания |
01 |
02 |
03 |
04 |
05 |
06 |
07 |
08 |
09 |
10 |
11 |
12 |
Первая проверка |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
Вторая проверка |
2 |
3 |
3 |
2 |
4 |
4 |
3 |
3 |
4 |
4 |
1 |
1 |
Третья проверка |
3 |
2 |
4 |
4 |
2 |
3 |
4 |
1 |
1 |
3 |
4 |
3 |
Четвертая проверка |
4 |
4 |
2 |
3 |
3 |
2 |
1 |
4 |
3 |
1 |
3 |
4 |
Специальный номер задания |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
Первая проверка |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
Вторая проверка |
4 |
4 |
2 |
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
Третья проверка |
1 |
2 |
4 |
1 |
2 |
4 |
2 |
3 |
1 |
3 |
2 |
1 |
Четвертая проверка |
2 |
1 |
1 |
4 |
4 |
2 |
3 |
2 |
3 |
1 |
1 |
2 |
Рассмотрим пример решения задачи для следующих условий:
вероятности отказов блоков q1 = q2 = q3 = q4 = q5 = 0,2;
заданный порядок проверок 1, 2, 3, 4;
стоимости проверок С1 = 46, С2 = 65, С3 = 31, С4 = 82.
Составим условную программу диагностики для указанного примера расчета. Приведем графическое изображение программы на рис.3.2. Изображение программы содержит узлы, распознаваемые состояния и векторы исхода проверок. Узлы программы обозначаются кругами с указанием номера проверки внутри узла. Распознаваемые той или иной проверкой состояния обозначаются затемненными кругами, рядом с которыми наносится номер распознанного проверкой состояния. Так как любая проверка имеет два исхода, то из каждого узла исходят два вектора, каждый из которых соответствует соответствующему исходу проверки: «0» или «1».
Построение диаграммы начинается с ее вершины, называемой главным узлом программы и соответствующей первой заданной проверке. В нашем случае это проверка 1. Проверка имеет два исхода. В случае если проверка 1 дала на выходе первого блока «0», то неработоспособное состояние S1 первого блока распознается сразу. В случае если проверка показала, что первый блок работоспособен (результат «1»), то следует перейти ко второй проверке 2. При условии, что проверка дала на выходе второго блока «0», то отказавший блок сразу выделить невозможно. Поэтому следует перейти к третьей проверке 3. Если проверка 3 дала результат «0», то выделяется неработоспособное состояние третьего блока S3. Если проверка 3 дала результат «1», то выделяется неработоспособное состояние второго блока S2. При условии, что проверка дала на выходе второго блока «1», то отказавший блок также сразу выделить невозможно. Поэтому следует перейти к четвертой проверке 4. Если проверка 4 дала результат «0», то выделяется неработоспособное состояние третьего блока S4. Если проверка 4 дала результат «1», то выделяется неработоспособное состояние второго блока S5.
Рис.3.2. Условная программа диагностики
Средняя стоимость диагностики можно рассчитать по формуле:
,
где Cпр(1), Cпр(2), Cпр(3)… – стоимости соответственно первой, второй, третьей и т.д. проводимых проверок; qt – вероятности отказов блоков, для распознавания которых необходима вторая проверка; qk – вероятности отказов блоков, для распознавания которых необходима третья проверка; qg – вероятности отказов блоков, для распознавания которых необходима четвертая проверка.
Для рассматриваемого примера средняя стоимость диагностики:
C = C1 + C2(q2 + q3 + q4 + q5) + C3(q2 + q3) + C4(q4 + q5) = 46 + 65(0,2 + 0,2 + + 0,2 + 0,2) + 31(0,2 + 0,2) + 82(0,2 + 0,2) = 143,2.