Лабораторна робота №4. Методи чисельного розрахунку визначеного інтегралу

В изначений інтеграл є одним з важливіших понять вищої математики. Він знаходить велике різноманіття фізичних, геометричних та інженерних додатків. Зокрема, інтеграли використовуються при визначені роботи механічних систем, площин геометричних фігур, об’ємів тіл і багато іншого.

Рисунок 4.1. Геометрична інтерпритація визначеного інтегралу

Визначені інтеграли вивчаються в шкільній та вищій математиці (Рисунок 4.1).

(4.1)

Мета роботи. Ознайомитись з чисельними методами визначення інтегралу та навчитися використовувати їх на практиці: метод прямокутників, метод трапецій, та метод Сімпсона.

Нагадаємо декілька, відомих з вищої математики, понять, зв’язаних з визначеним інтегралом (докладне освічення цих питань можна знайти практично в кожному посібнику з інтегрального числення).

Рисунок 4.2. На рисунку зображено графік функції та схематично показані точки розбиття , а також точки .

Визначення 4.1. Розглянемо функцію на проміжку. Розіб’ємо точками такими, що ( – натуральне число). Точки називають розбиттям відрізку . Нехай , . Суму такого виду

(4.2)

називають інтегральною сумою Рімана.

Визначення 4.2. Кажуть, що функція інтегрована на проміжку , якщо при будь-яком виборі точок і точок існує кінцева границя інтегральних сум:

, .

Число називають визначеним інтегралом (або інтегралом Рімана) и позначають символом .

Як видно з визначення, інтегральна сума залежить від вибору точок , точок і функції . Інтегрованість функції передбачає, що границя не залежить від вибору точок , .

Таким чином, згідно з визначенням інтегралу, справедлива асимптотична рівність

, , (4.3)

4.1 Метод прямокутників

Нехай інтегрована на проміжку функція (див. Визначення 2). Тоді (див. формулу (4.3)). Покладемо , точки розбиття , де в інтегральної сумі отримаємо, так звану, формулу прямокутників (4.4). Іншими словами, в цьому методі крива підінтегральної функції замінюється ломаною лінією, що складається з відрізків, які паралельні вісі абсцис з послідуючим визначенням суми площин отриманих елементарних прямокутників.

Наближене значення інтегралу визначається за формулою:

(y₁+y₂+...+y_n) = , де (4.4)

y_і - значення f(x_і) на початку кожного i-го відрізку; n – число відрізків інтегрування; a, b - нижня та верхня границі відрізків, на які розділено інтервал інтегрування; h=x

Рисунок 4.3. Геометрична інтерпретація методу прямокутників

Вхідні параметри: – кінці інтервалу інтегрування,

– число доданків інтегральної суми

Рисунок 4.4 Алгоритм методу прямокутників

Фрагмент Basic-програми (Метод прямокутників)

a=...

b=...

n=...

h = (b-a)/n

s=0: x=a:

do while x<b

s=s+f(x)

x=x+h

loop

D = h*s:

print “D=”;D

Function f(x):

f = …

End Function