Варіанти завдань
1
а)
; б)
; в)
; г)
;
д)
; е)
.
2
а)
; б)
; в)
; г)
;
д)
; е)
.
3
а)
; б)
; в)
; г)
;
д)
; е)
.
4
а)
; б)
; в)
; г)
;
д)
; е)
.
5
а)
; б)
; в)
; г)
;
д)
; е)
.
6
а)
; б)
; в)
; г)
;
д)
; е)
.
7
а)
; б)
; в)
; г)
;
д)
; е)
.
8
а)
; б)
; в)
; г)
;
д)
; е)
.
9
а)
; б)
; в)
; г)
;
д)
; е)
.
10
а)
; б)
; в)
; г)
;
д)
; е)
.
11
а)
; б)
; в)
; г)
;
д)
; е)
.
12
а)
;
б)
; в)
; г)
;
д)
; е)
.
13
а)
; б)
; в)
; г)
;
д)
; е)
.
14
а)
; б)
; в)
; г)
;
д)
; е)
.
15
а)
; б)
; в)
; г)
;
д)
; е)
.
16
а)
; б)
; в)
; г)
;
д)
; е)
.
17
а)
;
б)
; в)
; г)
;
д)
; е)
.
18
а)
;
б)
; в)
; г)
;
д)
; е)
.
19
а)
;
б)
; в)
; г)
;
д)
; е)
.
20
а)
;
б)
; в)
; г)
;
д)
; е)
.
21
а)
;
б)
; в)
; г)
;
д)
; е)
.
22
а)
;
б)
; в)
; г)
;
д)
; е)
.
23
а)
;
б)
; в)
; г)
;
д)
; е)
.
24
а)
;
б)
; в)
; г)
;
д)
; е)
.
25
а)
;
б)
; в)
; г)
;
д)
; е)
.
26
а)
;
б)
; в)
; г)
;
д)
; е)
.
27
а)
;
б)
; в)
; г)
;
д)
; е)
.
28
а)
;
б)
; в)
; г)
;
д)
; е)
.
29
а)
;
б)
; в)
; г)
;
д)
; е)
.
30
а)
;
б)
; в)
; г)
;
д)
; е)
.
31
а)
;
б)
; в)
; г)
;
д)
; е)
.
Завдання 5 Степеневі ряди. Радіус та інтервал обіжності
Знайти радіус, інтервал і область збіжності степеневих рядів:
а)
; б)
;
в)
.
Приклад а). Будемо послідовно знаходити:
Радіус збіжності за формулою
Таким
чином, радіус збіжності степеневого
ряду
2 Зобразимо
інтервал збіжності
.
В нашому випадку
Тому отримаємо інтервал
(рисунок 3).
Рисунок 3
Для
ряд збігається абсолютно, для
ряд
розбігається.
3 Для
отримання області збіжності числового
ряду потрібно перевірити, чи буде
збігатися або розбігатися ряд на кінцях
інтервалу збіжності
Якщо
,
степеневий ряд в цій точці перетворюється
у числовий ряд:
Цей числовий ряд буде знакопереміжним.
Ряд, отриманий з модулів, розбігається
(
– ряд Діріхле,
)
Але сам ряд збігається умовно за теоремою
Лейбніца, оскільки його члени, монотонно
спадаючи, прямують до нуля:
Тому
треба додати до області збіжності.
Перевіримо правий кінець інтервалу
збіжності
.
В цій точці степеневий ряд перетворюється
в числовий ряд
.
Цей числовий ряд розбігається. Таким
чином, точка
не належить області збіжності.
Відповідь:
областю збіжності степеневого ряду
є інтервал
.
Приклад
б). Знайдемо радіус збіжності за формулою
Таким чином, радіус збіжності степеневого
ряду
Відповідь: ряд збігається на всій числовій осі.
Приклад
в). 1 Знайдемо радіус збіжності за формулою
Таким чином, радіус збіжності степеневого
ряду
2 Зобразимо
інтервал збіжності
.
В нашому випадку
Тому отримаємо інтервал
(рисунок 4).
Рисунок 4
Для
ряд збігається абсолютно, для
ряд
розбігається.
3 Для
отримання області збіжності числового
ряду потрібно перевірити, чи буде
збігатися або розбігатися ряд на кінцях
інтервалу збіжності
Якщо
,
степеневий ряд в цій точці перетворюється
у числовий ряд:
Отримаємо знакопереміжний числовий
ряд. Ряд
,
отриманий з модулів, збігається за
ознакою рівняння з рядом Діріхле
,
Тому ряд
збігається абсолютно. Таким чином
треба додати до області збіжності.
Перевіримо правий кінець інтервалу
збіжності
.
В цій точці степеневий ряд перетворюється
в числовий ряд
Цей числовий ряд збігається. Таким
чином, точка
належить області збіжності.
Відповідь:
областю збіжності степеневого ряду
є сегмент
Визначити: для а) інтервал збіжності; для б) область збіжності степеневих рядів [8, с. 24-26; 9, с. 36-38].