Задания для самостоятельной работы по теме 5.

Задание 1. Решить задачу.

Задача 1. В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить провода­ми так, чтобы было 4 телефона, каждый из которых соединен с тремя другими, 8 телефонов, каждый из которых соединен с шестью, и 3 телефона, каждый из которых соединен с пятью другими?

Задача 2. У короля 19 баронов-вассалов. Может ли оказаться так, что у каждого вассального баронства 1, 5 или 9 соседних баронств?

Задача 3. Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит 3 дороги, быть ровно 100 дорог?

Задача 4. Джон, приехав из Диснейленда, рассказывал, что там на заколдованном озере имеются 7 островов, с каждого из которых ведет 1, 3 или 5 мостов. Верно ли, что хотя бы один из этих мостов обязательно выходит на берег озера?

Задача 5. Докажите, что число людей, когда-либо живших на Земле и сделавших нечетное число рукопожатий, четно.

Задача 6. Можно ли нарисовать на плоскости 9 отрезков так, чтобы каждый пересекался ровно с тремя другими?

Задание 2. Определите, изоморфны ли графы в парах, изображенных на рис. 35

1 )	2 )
3 )	4 )
5 )

Рисунок 35.

Задание 3. Докажите, что не существует графа с пятью вершинами, степени которых равны 4, 4, 4, 4, 2.

Задание 4. Докажите, что существует граф с 2n вершинами, степени которых равны 1, 1, 2, 2, ..., n, n.

Задание 5. Верно ли, что два графа изоморфны, если

а) у них по 10 вершин, степень каждой из которых равна 9?

б) у них по 8 вершин, степень каждой из которых равна 3?

в) они связны, без циклов и содержат по 6 ребер?

Задание 6. В связном графе степени четырех вершин равны 3, а степени осталь­ных вершин равны 4. Докажите, что нельзя удалить ребро так, чтобы граф распался на две изоморфные компоненты связности.

Задание 7. Задан граф списком ребер. Начертите его графическое изображение на плоскости, постройте его матрицы инциденций и смежности. Определите тремя способами число его ребер.

1)

N ребра

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Вершины

E

A

D

B

C

C

D

E

E

G

B

G

Ребра

E

B

D

C

D

F

E

F

G

F

F

A

2)

N ребра	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Вершины	A	A	B	B	C	D	D	E	E	G
Ребра	B	G	D	C	E	T	G	E	F	A

Задание 8. Построить граф заданного отношения, определить его матрицы инциденций, смежности, список смежности.

	={(x, y)P(A) P(A)/ |x|=|y|} где A={1, 2, 3};		={(x, y)  RR / x2+x=y2+y};
	={(a, b), (c,d) ) N2 N2/ a+d=b+c ;		={(x, y)) P(A) P(A)/ x+y конечное множество} для любого А;
	={(x, y)  RR / x2=y2};		={(x, y)/|x-y|<10} на множестве N.

Задание 9. Найти минимальную линию, соединяющую города A, B, C, D, T, F. Попарные расстояния между городами заданы треугольной таблицей:

Задание 10. Постройте турнирную таблицу для 6, 8, 9 игроков.

Задание 11. Построить геометрическую реализацию графа, заданного матрицей инциденций

а)	в)
б)	г)

Задание 12. Построить коды плоских корневых деревьев, изображенных на рис. 36

Рисунок 36

Задание 13. Построить плоское корневое дерево по его коду :

=0010100111	=00110101000111
=0000010011011111	=01001000110111
=0100010110111	=000101110100001011

Задание 14. По вектору  установить, является ли он кодом какого-либо плоского дерева:

=001011	=0110	5) =001001
=010011	=00111001	6) =0001100111