2. Формулы и их логические возможности.

Будем считать, что существуют некоторое множество элементарных высказываний. Их, как правило обозначают первыми буквами латинского алфавита, а также 0 и 1. введем в рассмотрение высказывательные переменные - символы, вместо которых можно подставить высказывания. высказывательные переменные обозначают, как правило, последними буквами латинского алфавита (x, y, z, …)также введены знаки (обозначения) логических операций. Введем еще два служебных символа: «(« - открывающая скобка и «)» - закрывающая скобка.

Под формулами алгебры высказываний будем понимать осмысленные выражения, полученные из символов элементарных высказываний, символов высказывательных переменных, знаков операций (конечного числа) и скобок, определяющих порядок действий.

Приведем более формальное определение формулы алгебры высказываний.

1. Любая высказывательная переменная, а также константы 1 (истина), 0 (ложь) есть формула.

2. Если A и B – формулы, то , есть формулы.

3. Других формул алгебры высказываний нет.

Логической возможностью формулы Ф¹ от переменных A₁, A₂, …, A_n называется набор конкретных значений истинности для переменных A₁, A₂, …, A_n. Таблица, содержащая перечень всевозможных логических возможностей формулы Ф, вместе с указанием значений Ф в каждой логической возможности, называется таблицей истинности этой формулы.

Пример. Всякая простая формула, состоящая из одной переменной, имеет две логические возможности: 0 и 1. всякая формула от двух букв имеет четыре логические возможности: (0,0), (0,1), (1,0), (1,1).

Формула называется тождественно истинной (тождественно ложной), если она принимает лишь значение 1 (0) при любых логических возможностях входящих в нее переменных. Тождественно истинные формулы называются тавтологиями, тождественно ложные – противоречиями. Этот факт обозначается следующим образом: Ф1 или Ф0.

Две формулы называются равносильными, если на всех одинаковых наборах переменных значения этих формул совпадают. Равносильность формул A и B обозначают A  B.

Для того, чтобы установить равносильность формул, можно составить таблицы значений (таблицы истинности) для каждой формулы и сравнить их. Для равносильных формул эти таблицы совпадают. Другой способ установления равносильности формул заключается в использовании некоторых установленных равносильностей формул логики высказываний.

3. Свойства логических операций (законы логики).

Для любых формул A, B и C справедливы следующие равносильности:

1. коммутативность:

   1. ;

   2. ;

2. ассоциативность:

   1. ;

   2. ;

3. дистрибутивность:

   1. ;

   2. ;

4. законы де Моргана:

   1. ;

   2. ;

5. идемпотентность:

   1. ;

   2. ;

6. поглощение:

   1. ;

   2. ;

7. ;

8. двойное отрицание:

9. ;

10. свойства констант:

    1. ;

    2. ;

    3. ;

    4. ;

    5. ;

    6. ;

11. закон противоречия:

.

12. закон «исключенного третьего»:

;

13. замена операций импликации и эквиваленции:

    1. ;

    2. ;

14) закон контрапозиции

;

15) закон двойной контрапозиции

Каждая из перечисленных равносильностей может быть доказана с помощью таблиц истинности значений функций, составленных для выражений, стоящих слева и справа от символа «».

Справедливы также обобщенные законы дистрибутивности и обобщенные законы де Моргана:

	.

Пример. Докажем справедливость некоторых свойств с помощью таблицы истинности.

				1	2	3	4	5	6	7	8
А	В			АB			А→B	В		АB	
0	0	1	1	0	1	1	1	1	1	1	1
0	1	1	0	0	1	1	1	1	1	0	0
1	0	0	1	0	1	1	0	0	0	0	0
1	1	0	0	1	0	0	1	1	1	1	1

Из столбцов 1, 2, 3 таблицы следует справедливость свойства 4.1, из столбцов 4, 5 – свойства 13.1, из столбцов 4, 6 – свойства 14, из столбцов 7, 8 – свойства 15.

Задание. Справедливость остальных свойств проверить самостоятельно.