4. Эквивалентность булевых формул.

Булевы функции могут быть заданы либо с помощью таблиц истинности (единственным образом), либо с помощью логических формул (неединственным образом). Упрощая, будем дальше считать две булевы формулы эквивалентными, если их таблицы истинности совпадают с точностью до обозначения переменных.

Пример. Проверить эквивалентность булевых формул:

.

Построим таблицу истинности для функции .

0	0	0	1	1
0	0	1	1	1
0	1	0	0	1
0	1	1	1	1
1	0	0	1	1
1	0	1	1	1
1	1	0	0	0
1	1	1	1	1

Построим таблицу истинности для функции

.

0	0	0	1	1	1
0	0	1	1	1	1
0	1	0	1	1	1
0	1	1	1	1	1
1	0	0	0	0	1
1	0	1	0	1	1
1	1	0	1	0	0
1	1	1	1	1	1

Результирующие столбцы в таблицах истинности совпадают, следовательно, формулы эквивалентны.

5. Равносильные преобразования формул

Две формулы, реализующие одну и ту же функцию, называются равносильными.

Равносильность формул A и B будем обозначать следующим образом: A  B.

Для того, чтобы установить равносильность формул, можно составить таблицы значений функции для каждой формулы и сравнить их. Для равносильных формул эти таблицы совпадают. Другой способ установления равносильности формул заключается в использовании некоторых установленных равносильностей булевых формул.

Основные равносильности булевых формул.

Для любых формул A, B, C справедливы следующие равносильности:

1. Коммутативность.

а) A B B A (для конъюнкции);

б) AB  BA (для дизъюнкции).

2. Ассоциативность.

а) A (B C)  (A C) C (для конъюнкции);

б) A(BC)  (AB)C (для дизъюнкции).

3. Дистрибутивность.

а) A (BC)  A BA C (для конъюнкции относительно дизъюнкции);

б) A(B C)  (AB) (AC) (для дизъюнкции относительно конъюнкции).

4. Закон де Моргана.

а) ( )  (отрицание конъюнкции есть дизъюнкция отрицаний);

б) ( ) (отрицание дизъюнкции есть конъюнкция отрицаний).

5. Идемпотентность.

а) A A  A (для конъюнкции);

б) AA  A (для дизъюнкции).

6. Поглощение.

а) A (AB)  A (1– ый закон поглощения);

б) AA B  A (2– ой закон поглощения).

7. Расщепление (склеивание).

а)(A B)  (A )  A (1–ый закон расщепления);

б) (AB) (A )  A (2–ой закон расщепления).

8. Двойное отрицание.

 A.

9. Свойства констант.

а)A 1  A; б) A 0  0; в)A1  1; г) A0  A; д)  1; е)  0.

10. Закон противоречия.

A  0.

11. Закон “исключенного третьего”.

A  1.

Каждая из перечисленных равносильностей может быть доказана с помощью таблиц значений функций, составленных для выражений, стоящих слева и справа от символа “”. Докажем, например, равносильность 4а. Для этого составим таблицу 10.

Таблица 10

A	B	A B				
0 0 1 1	0 1 0 1	0 0 0 1	1 1 1 0	1 1 0 0	1 0 1 0	1 1 1 0

Из таблицы 5 видно, что , что и требовалось доказать.

Следующие важные равносильности показывают, что все логические операции могут быть выражены через операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания:

12. AB 

13. AB  (AB) (BA)

Используя равносильности 3а и 3б и метод математической индукции, нетрудно получить также следующие равносильности (обобщенные законы дистрибутивности):

14. (A₁A₂...A_n) (B₁B₂...B_m) 

A₁ B₁A₁ B₂...A₁ B_m...A_n B₁A_n B₂...A_n B_m.

15. (A₁ A₂ ... A_n)(B₁ B₂ ... B_m) 

(A₁B₁) (A₁B₂) ... (A₁B_m) ... (A_nB₁) (A_nB₂) ... (A_nB_m).

Используя равносильности 4а и 4б и метод математической индукции, можно получить также следующие равносильности (обобщенные законы де Моргана):

16. ( )  ₁ ₂... _n.

17. ( )  _{1 2} ... _n

В равносильностях 1 – 17 в качестве A, B, A_i, B_i могут быть подставлены любые формулы и, в частности, переменные.