Практическая работа по теме 3.

Задание 1. Задано отношение  ={(x, y)/x*y>1} на множестве R. Найти D_, E_,_, ^ Определить, какими свойствами обладает отношение.

Решение. Для заданного отношения D_=(0; +), E_=(0; +),_={(x, y)/x*y>1}={(x, y)/y>1/x}.

Проверим свойства отношения.

Рефлексивность: x D_/xx  (x, x)  x*x>1 – не выполняется. Следовательно, отношение не рефлексивно.

Симметричность: x,y D_/x*y>1y*x>1 – выполняется в силу коммутативности операции умножения. Следовательно, отношение симметрично.

Так как выполняется симметричность, то асимметричность и антисимметричность не проверяем.

Транзитивность: x, y, z D_ (x*y>1  y*z>1x*z>1) – не выполняется. Следовательно, отношение не транзитивно.

Задание 2. Доказать, что заданное отношение  является отношением эквивалентности.

={(x, y)/x-y делится на m} на множестве Z, mN.

Решение. Для доказательства того, что отношение является отношением эквивалентности, необходимо проверить выполнение свойств рефлективности, симметричности и транзитивности.

Рефлексивность: x D_/xx  x-x=0=0*m mZ / (x, x)  . Следовательно, отношение рефлексивно.

Симметричность: x,y D_/ x-y делится на m  y-x делится на m

Пусть (x,y)  kZ / x-y=k*m  kZ / y-x=-k*m(y, x).

Следовательно, отношение симметрично.

Транзитивность: x, y, z D_ ((x-y делится на m)  (y-z делится на m)  (x-z делится на m)).

Пусть (x,y) (y,z) k, nZ / x-y=k*m  y-z=n*m  k, nZ / (x-z) = (k+n)*m  r=(k+n) Z / x-z=r*m(x,z).

Следовательно, отношение транзитивно.

Таким образом, заданное отношение является отношением эквивалентности.

Задание 3. Дана функция f(x), отображающая множество [0; 1] во множество [0; 3]. Является ли эта функция сюръективной, инъективной, биективной?

1. f(x) = ;

2. f(x)=3^x;

3. f(x)= .

Решение.

1. Для произвольного y[0; 3] уравнения y = имеем единственное решение , принадлежащее [0; 1]. Следовательно функция является инъективной и сюръективной, а значит и биективной.

2. Если y[0; 3], то уравнение y=3^x имеет не более одного решения x [0; 1]. При y[1; 3] решением является x=log₃y, а при y[0; 1] решений нет. Следовательно, функция инъективна.

3. Из уравнения y= , y[0; 3] находим при чем, если 0y3, то оба корня лежат в интервале (0, 1]; если y=0, то корни совпадают и принадлежат отрезку [0; 1]. Следовательно, для всех y[0; 3] уравнение y= на [0; 1] имеет хотя бы одно решение. Поэтому рассматриваемая функция сюръективна.

Задания для самостоятельной работы по теме 3.

Задание 1. Задано отношение . Найти D_, E_,_, ^ Определить, какими свойствами обладает отношение.

	={(x, y)/|x-y|=10} на множестве N;		={(x, y)/2x=3y} на множестве R;
	={(x, y)/x>y2} на множестве N;		={(x, y)/x=y2} на множестве R;
	={(x, y)/|x-y|10} на множестве N;		={(x, y)/x+y<2} на множестве R;
	={(x, y)/|x-y|<10} на множестве N;		={(x, y)/x2=y2} на множестве R;
	={(x, y)/x-yZ} на множестве R;		={(x, y)/y=|x|} на множестве R;

Задание 2. Доказать, что заданное отношение  является отношением эквивалентности.

	={(x, y)P(A) P(A)/ |x|=|y|} где A={1, 2, 3};		={(x, y)  RR / x2+x=y2+y};
	={(a, b), (c,d) ) N2 N2/ a+d=b+c ;		={(x, y)) P(A) P(A)/ x+y конечное множество} для любого А;
	={(x, y)  RR / x2=y2};		={(x, y)/|x-y|<10} на множестве N.

Задание 3. Дана функция f(x), отображающая множество действительных чисел R во множество действительных чисел, R® R. Является ли эта функция сюръективной, инъективной, биективной? Почему?

	f(x) = x3 + ex;		f(x) = sinx + ;
	f(x) = x 2 + ;		f(x) = lnx + ;
	f(x) = x + ;		f(x) = x 2 ;
	f(x) = x 2 +lnx;		f(x) = x 2 ;
	f(x) = x 2 + 2x;		f(x) = x3ex;
	f(x) = 2x + ;		f(x) = lnx + 2x.

Задание 4. Доказать, что если  - отношение эквивалентности, то ^ - также отношение эквивалентности.