2. Моделирование процессов с помощью уравнения парной линейной регрессии

Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике ввиду четкой экономической интерпретации ее параметров.

Параметризация модели осуществляется следующим образом. Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида:

(3)

(4)

Уравнение вида (3) позволяет по заданным значениям фактора находить теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора .

Информационный этап заключается в формировании массива исходных (фактических, эмпирических, реальных) данных х_i и у_i.

На этапе идентификации находят численные значения параметров и . Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров и , при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических минимальна:

. (5)

Т.е. из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной (рис. 1.):

Рисунок 1.1 - Линия регрессии с минимальной дисперсией остатков.

После несложных преобразований, получим следующую систему линейных уравнений для оценки параметров и :

(6)

Решая систему уравнений (6), найдем искомые оценки параметров и . Можно воспользоваться следующими готовыми формулами, которые следуют непосредственно из решения системы (6):

, (7)

, (8)

где – дисперсия признака , которая рассчитывается по формулам (9), (10), (13).

, (9)

, (10)

, (11)

, (12)

(13)

Следует отметить, что в данных формулах используются фактические значения массивов данных х_i и у_i.

Возможность четкой экономической интерпретации коэффициента регрессии сделала линейное уравнение регрессии достаточно распространенным в эконометрических исследованиях.

Параметр называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу.

На этапе верификации оценивают качество полученной модели и ее пригодность для прогноза. Для этого необходимо:

• оценить тесноту связи между фактором и результатом;

• оценить качество подбора линейной функции;

• оценить значимость уравнения регрессии в целом;

• оценить значимость отдельных параметров уравнения регрессии.

Для оценки тесноты связи между фактором и результатом для линейной регрессии используют линейный коэффициент корреляции , который можно рассчитать по следующим формулам:

, (14)

Между коэффициентами b и существует следующая зависимость:

если b > 0, то r > 0,

если b < 0, то r < 0.

Линейный коэффициент корреляции находится в пределах: . Чем ближе абсолютное значение к единице, тем сильнее линейная связь между факторами (при имеем строгую функциональную зависимость).

Если , то это может означать:

• отсутствие связи между признаками;

• наличие нелинейной формы связи.

Интерпретация значений :

если | | =1 → связь тесная,

если r ≈ 0 → связи нет, или

→ связь нелинейная.

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции , называемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака , объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

, (15)

где – остаточная дисперсия результативного признака (не объясненная уравнением);

– общая дисперсия результативного признака.

Остаточная дисперсия результативного признака (не объясненная уравнением) находится по формуле (16):

, (16)

Общая дисперсия результативного признака находится по формуле (17):

, (17)

Соответственно величина характеризует долю дисперсии , вызванную влиянием остальных, не учтенных в модели, факторов.

После того как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров. Оценить значимость уравнения регрессии – это означает установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между Y и Х, фактическим данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных Х для описания зависимой переменной Y.

Оценка значимости уравнения регрессии производится для того, чтобы узнать, пригодно уравнение регрессии для практического использования (например, для прогноза) или нет. При этом выдвигают основную гипотезу о незначимости уравнения в целом, которая формально сводится к гипотезе о равенстве нулю параметров регрессии, или, что то же самое, о равенстве нулю коэффициента детерминации: . Альтернативная ей гипотеза о значимости уравнения — гипотеза о неравенстве нулю параметров регрессии.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе - критерия Фишера, созданного на основе теории дисперсионного анализа. Если расчетное значение F_факт с ₁= k и ₂ = (n - k - 1) степенями свободы, где k – количество факторов, включенных в модель, больше табличного (F_табл) при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов отклонений переменной от среднего значения раскладывается на две части – «объясненную» и «необъясненную» (18):

, (18)

где – общая сумма квадратов отклонений;

– сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией (или факторная сумма квадратов отклонений);

– остаточная сумма квадратов отклонений, характеризующая влияние неучтенных в модели факторов (необъясненная).

Схема дисперсионного анализа имеет вид, представленный в таблице 1.2 ( – число наблюдений, – число параметров при переменной ).

Таблица 1.2 – Схема дисперсионного анализа

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Дисперсия на одну степень свободы
Общая
Факторная
Остаточная

Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину -критерия Фишера:

, (19)

Фактическое значение -критерия Фишера (19) сравнивается с табличным значением при уровне значимости и степенях свободы и . При этом, если фактическое значение -критерия больше , то признается статистическая значимость уравнения в целом.

Для парной линейной регрессии , поэтому -критерий можно определить по формуле (20):

, (20)

Величина -критерия связана с коэффициентом детерминации , и в линейной регрессии ее можно рассчитать по следующей формуле (21):

, (21)

Значимость отдельных параметров уравнения оценивается с помощью t-статистики по формулам:

, (22)

, (23)

, (24)

где , b, r_xy – параметры уравнения регрессии,

, , – стандартные ошибки соответствующих параметров;

, , – фактические значения t-статистики или критерия Стьюдента по каждому параметру соответственно.

Стандартная ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле (25):

, (25)

где – остаточная дисперсия на одну степень свободы.

Стандартная ошибка параметра определяется по формуле (26):

. (26)

Стандартная ошибка параметра r_xy определяется по формуле (27):

, (27)

Для оценки существенности каждого параметра фактическое значение -критерия Стьюдента, определённое по формулам (22), (23), (24) сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости и числе степеней свободы . Если -критерий фактический больше -критерия табличного, то оценка данного параметра признается статистически значимой.

Существует связь между -критерием Стьюдента и -критерием Фишера:

, (28)

Таким образом, проверка гипотез о значимости коэффициента регрессии и коэффициента корреляции проводится одинаково. Если коэффициент регрессии статистически значимый, то коэффициент корреляции тоже статистически значимый.

Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, определяют среднюю ошибку аппроксимации:

. (29)

Средняя ошибка аппроксимации не должна превышать 8–10%.

Для построения прогноза по уравнению регрессии необходимо подставить в уравнение соответствующее значение . Таким образом, определяется как точечный прогноз у при .

Однако точечный прогноз очень ненадежен. Вероятность того, что реальное значение у совпадет с прогнозным , очень маленькая, практически нулевая. Поэтому для повышения надежности прогноза определяют доверительный интервал прогноза по формуле (29):

(30)

где – средняя ошибка прогноза при заданной степени вероятности.

Среднюю ошибку прогноза можно определить по формуле (30):

, (31)

где – стандартная ошибка у;

– задается самостоятельно, в соответствии со степенью свободы и желаемой вероятностью 1-α.

Стандартная ошибка определяется по формуле (31);

(32)

Таким образом, можно сделать вывод, что при х = х_p , попадает в интервал с вероятностью 1-α.