4.4.5. Алгоритм решения задачи к 4.4

1. Написать условие задачи, изобразить расчетную схему и по­перечное сечение стойки, указать на них необходимые размеры. За­писать исходные данные.

2. Определить геометрические характеристики сечения F, J_min, i_min.

3. Вычислить гибкость стойки по формуле (4.5), определить ко­эффициент  из табл. 7.

4. Вычислить по формуле (4.11).

5. Найти значение Р_кр по формуле Эйлера (4.4) или Ясинского (4.7).

6. Вычислить коэффициент запаса устойчивости по формуле (4.12).

4.5. Пример решения задачи к 4.4

Рис. 29

Для сжатой стойки, изготовлен­ной из стали Ст. 3, определить до­пус­каемую силу из расчета на устойчи­вость. При силе, равной допус­каемой, вычислить коэффициент запаса устой­чивости. Схема закреп­ления стойки и ее поперечное сечение, состоящее из двух швеллеров, скрепленных с помо­щью сварки двумя пластинами, пока­заны на рис. 29.

Исходные данные: l = 6,83 м, = 160 МПа, b = 160 мм,  = 8 мм, c = 180 мм, швеллер № 12.

Решение

Так как задано , то определение ведем с использова­нием коэффициента .

1. Определяем геометрические характеристики сечения F, J_min, i_min.

Изобразим сечение с необходимыми для расчета размерами (рис. 30). Так как сечение имеет две оси симметрии, то эти оси будут главными централь­ными осями инерции. Центр тяжести сечения лежит на пересечении этих осей.

Для определения геометрических характеристик сечения опре­делим не­обходимые геометрические характери­стики составляющих элементов сечения – площади и моменты инерции относи­тельно их центральных осей х и у. Все расчеты ведем в сантиметрах.

Рис. 30

Швеллер (1): из таблиц сортамента находим F₁ = 13,3 см², J_х = 304 см⁴, J_у = 31,2 см⁴, z₀ = = 1,54 см, h = 12 см, однако, учитывая, что швеллеры на схеме сечения стойки повернуты по сравнению с табличным на 90, то J_х1 = 31,2 см⁴, J_у1 = 304 см⁴.

Пластина (2): F₂ = hb = 160,8 = 12,8 см²,

= 273 см⁴,

= 0,683 см⁴.

Площадь сечения см².

Главные центральные моменты инерции сечения определяем по формулам для определения центральных моментов инерции через моменты инерции относительно параллельных им нецентральных осей

,

,

где J_xc , J_уc – центральные (в нашем случае главные центральные) моменты инерции сечения; F_i, J_xi , J_уi – площади и моменты инерции составляющих элементов сечения относительно их центральных осей х и у (но нецентральных для сечения); а_i – расстояние от оси х_с сечения до оси х составляющего элемента; b_i – расстояние от оси у_с сечения до оси у составляющего элемента.

Для швеллеров а₁ = с/2 – z₀ = 17/2 – 1,54 =6,96 см, b₁ = 0.

Для пластин а₂ = 0, b₂ = h/2 + /2 = 12/2 + 0,8/2 =6,4 см.

Тогда

см⁴;

см⁴.

Минимальный момент инерции

см⁴.

Минимальный радиус инерции

см.

2. Определяем гибкость стойки и коэффициент .

Учитывая, что для заданной схемы закрепления стойки  = 0,7,

.

Коэффициент  берем из табл. 7 для стержней, изготовленных из стали Ст. 3. Ближайшее значение гибкости в таблице ₁ = 80, для неё ₁ = =0,75 и ₂ = 90, для неё ₂ = 0,69.

Применяя линейную интерполяцию (формула (4.14)), найдем  для  = 84,5.

.

3. Определяем .

Н = 636 кН.

4. Определяем Р_кр.

Так как _пред = 100   = 84,5  ₀ = 61, то для определения Р_кр используем формулу Ясинского

Н =

= 1175 кН.

5. Определяем коэффициент запаса устойчивости

.