3.4.2. Алгоритм решения задачи к 3.3

1. Написать условие задачи, вычертить схему напряженного состояния.

2. По формуле (3.13) или (3.13а) вычислить главные напряжения и их направления по формулам (3.14) или (3.14а) и (3.15). Указать на схеме напряженного состояния направления главных напряжений и угол ₀.

3. По формуле (3.23) вычислить _max.

4. По формулам (3.16) и (3.17) или (3.18) и (3.19) вычислить и .

5. По формулам (3.24) вычислить ₁, ₂, ₃.

3.4.3. Алгоритм решения задачи к 3.4

1. Написать условие задачи, исходные данные, вычертить схему вала.

2. По заданным мощности и угловой скорости вращения определить крутящий момент, передаваемый валом.

Исходя из равенства М на шкивах D₁ и D₂ определить значения сил Р₁ и Р₂.

, отсюда .

3. Изобразить расчетную схему вала. При этом силы Р₁ и Р₂ и создаваемые ими моменты относительно оси вала прикладываются к оси вала в месте расположения шкивов D₁ и D₂.

Для удобства построения эпюр и выполнения дальнейших расчетов желательно согласовать значения сил Р₁ и Р₂, например: меньшую силу (Р₁) обозначить как Р, тогда большая (Р₂) будет равна .

Опоры вала, изображенные в задании, необходимо заменить эквивалентными им по числу связей и их направлению шарнирными опорами, так как опоры валов всегда конструируются таким образом, что реактивные моменты в них не возникают.

4. Построить эпюры внутренних силовых факторов (М_х, М_у, М_к).

5. Анализируя построение эпюры, определить наиболее опасное сечение. Опасными будут сечения, в которых один или несколько внутренних силовых факторов имеют максимальное (по модулю) значение. В схемах к задаче К3.4 опасные сечения будут на участке между шкивами D₁ и D₂, т.е там, где М_к  0. Наиболее опасным сечением будет то, в котором больший результирующий изгибающий момент.

.

6. Исходя из условия прочности в опасном сечении найти необходимый диаметр вала. По третьей теории прочности с учетом формул (3.20) и (3.22) и того, что ,

.

(3.25)

По четвертой теории прочности аналогично

.

(3.26)

7. Определить перемещение f оси вала в месте расположения шкива D₂ и направление этого перемещения

.

(3.27)

Здесь f_x и f_y – перемещения по оси х и у соответственно, которые определяются методом Мора с использованием способа Верещагина. Угол, определяющий направление f по отношению к оси х, находится по формуле

.

(3.28)

f_x и f_y в формулу (3.28) подставляют с учетом знаков. Перемещения, направленные в сторону положительного направления соответствующей оси, считаются положительными, иначе отрицательными.

3.5. Примеры решения задач к 3.3, к 3.4

Пример 1

Для напряженного состояния, изображенного на рис. 14, требуется найти:

а) главные напряжения и их направления;

б) максимальные касательные напряжения;

в

Рис. 14

) эквивалентные напряжения по III и IV теории прочности;

г) главные деформации.

Исходные данные: Е = 210⁵ МПа,  = 0,3, _х = 100 МПа, _у = = 50 МПа, _ху = 30 МПа.

Решение

Определяем главные напряжения и их направления.

Учитывая, что ₁  ₂  ₃, получим ₁ = 25 + 80,8 = 105,8 МПа, ₂ = 0, ₃ = 25 – 80,8 = –55,8 МПа.

Определяем направление главных напряжений

П од углом ₀ по отношению к направлению _х будет направлено ₁, ₃ направлено перпендикулярно ₁. Изображаем главные напряжения на схеме напряженного состояния (рис. 15).

Рис. 15

Определяем максимальные касательные напряжения

МПа.

Определяем эквивалентные напряжения:

- по третьей теории прочности

МПа;

- по четвертой теории прочности

Определяем главные деформации:

Примечание. В формулы для определения главных деформаций значения Е, ₁, ₃ можно подставлять в МПа.

Пример 2

Д

Рис. 16

ля круглого вала постоянного поперечного сечения (рис. 16), вращающегося с угловой скоростью  и передающего мощность N со шкива D₁ на шкив D₂, требуется определить:

Рис. 16

а) необходимый диаметр вала по третьей и четвертой теории прочности;

б) перемещение оси вала в месте расположения шкива D₁ и направление этого перемещения.

Исходные данные: D₁ = 500 мм, D₂ = 250 мм, a = 0,2 мм, N = =20 кВт,  = 16 рад/с, Е = 210⁵ МПа.

Решение

1. Определяем крутящий момент, передаваемый валом:

= 1,25 кНм.

2. Определяем силы Р₁ и Р₂

Н = 5 кН;

Н = 10 кН.

Согласуем значения сил Р₁ и Р₂

Р₁ = Р, тогда

3. Изображаем расчетную схему вала (рис. 17а).

Строим эпюры М_х , М_у , М_к .

Примечание. Эпюры строят по тому же алгоритму, что и в предыдущих задачах. Студент должен подробно расписать все действия по построению эпюр. Здесь же мы покажем лишь, как нужно определять реакции.

, отсюда

, отсюда

Проверка:

Реакции Y определены правильно.

, отсюда

а)

б)

в)

Р

г)

д)

е)

ж)

ис. 17

, отсюда

Проверка:

Реакции Х определены правильно.

, отсюда z_А = 0.

Значения найденных реакций указываем на расчетной схеме (рис. 17а).

Эпюра М_к изображена на рис. 17б, эпюры М_х и М_у на рис. 17в.

5. Определяем наиболее опасное сечение.

Из анализа построенных эпюр следует, что опасными будут сечения С и D.

Определяем результирующий изгибающий момент в этих сечениях.

Сечение С

Сечение D

Отсюда следует, что наиболее опасным будет сечение D.

Определяем необходимый диаметр вала исходя из условия прочности сечения D.

Выразим предварительно численное значение М_рез.

М_рез =1,52 Ра = 1,5250,2 = 1,52 кНм.

По третьей теории прочности

По четвертой теории прочности

7. Определяем перемещение сечения С и его направление.

Первоначально определяем перемещения точки С по оси Х (f_х) и оси Y (f_у). Вспомогательное состояние для определения f_х дано на рис. 17г, единичная эпюра на рис. 17д. Вспомогательное состояние для определения f_у дано на рис. 17е, единичная эпюра на рис. 17ж.

Порядок определения перемещений изложен в п.п. 3.2.1.

Для круглого вала . В качестве расчетного примем

d = 62,6 мм, тогда .

Тогда

м.

Определяем направление

,  =33,8 или  =123,8.

Здесь f_x и f_y взяты со знаком «минус», так как они направлены в противоположную сторону по сравнению с положительным направлением осей х и у (направление f_x и f_y совпадает с направлением единичных сил на рис. 17е и рис. 17г, так как f_x и f_y из расчета получены со знаком «плюс»). Тогда и f, которое является геометрической суммой f_x и f_y , направлено под углом 123,8 по отношению к положительному направлению оси х.