Числовые хар-ки и моменты распределения

Частичную информацию о св дают числовые хар-ки, которые в зависимости от рода информации делятся на следующие группы:

1. Хар-ки положения св на числовой оси (мода Мо, медиана Ме, математическое ожидание М(х)).

2. Хар-ки разброса св около среднего значения (дисперсия D(x), среднее квадратическое отклонение (х)).

3. Хар-ки формы кривой (асимметрия As, эксцесс Ex)

Математическое ожидание св Х указывает некоторое среднее значение, около которого группируются все возможные значения Х.

- для дискретной св

-для непрерывной св

ва математического ожидания:

1. 

2. 

3. , где X u Y-любые св

4. , где X u Y-независимые св

Модой дискретной св называют ее наиболее вероятное значение, а модой непрерывной св- значение, при котором плотность вероятности максимальна.

Медианой непрерывной св называется такое ее значение, для которого одинаково вероятно, окажется ли св меньше или больше, т.е. .

Геометрически медиану можно истолковать как абсциссу, в которой ордината делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения. В случае симметричного распределения медиана совпадает с модой и математическим ожиданием.

Дисперсией св называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания

, для дискретной можно использовать ф-лу:

Св-ва дисперсии:

1)

2)

3)

Средним квадратическим отклонением св называется арифметический корень из ее дисперсии.

Ско удобно для хар-ки рассеяния,т.к. имеет ту же размерность, что и сама св.

Начальным моментом k-го порядка св X называется математическое ожидание величины , т.е. .

Начальный момент первого порядка- это математическое ожидание св.

Центральным моментом k-го порядка св Х называется математическое ожидание величины , т.е. . Центральный момент второго порядка- это дисперсия св.

Величина называется коэффициентом асимметрии. Если коэф. асимметрии отрицательный, то это говорит о большом влиянии на величину отрицательных отклонений. В этом случае кривая распределения более пологая слева от М(Х). Если положительный- более пологая справа.

Эксцессом называется величина . Для наиболее распространенного нормального закона распределения отношение .

Поэтому эксцесс служит для сравнения данного распределения с нормальным, у которого эксцесс равен нулю. Распределения более островершинные, чем нормальное, имеют эксцесс , а более плосковершинные-

Ex>0

Кривая нормального

распределения

As>0

As<0

x

M(x)

M(x)

0

Ex<0

0

x

Доверительное оценивание числовых хар-к

Доверительный интервал для математического ожидания вычисляется по ф-е: , где -среднее весовое, –ско среднего весового, - аргумент ф-ии распределения Стьюдента.

- доверительный интервал для ско единицы веса.

Для равноточных многократных изм. одной величины в приведенных ф-лах

- окончательное значение измеренной величины- среднее арифметическое.

- контроль вычисления поправок

– контроль

-ско результата изм.(ф-ла Бесселя)

-ско окончательного рез-та – среднего арифметического.

Корреляция св. Коэффициент корреляции и его св-ва.

Корреляционная зависимость- статистическая взаимосвязь двух или нескольких св. При этом изменение значения одной или нескольких из этих величин сопутствует систематическому изменению значения другой или других величин.

Коэффициент корреляции:

,

Если , то с увеличением одной величины другая тоже увеличивается

Если , то с увеличением одной величины другая уменьшается

a=M(x); b=M(y)

Линейная регрессия

Линейная регрессия- зависимость одной переменной у от другой или нескольких других переменных х с линейной ф-ей зависимости.

Регрессионная модель: , , где

b- параметры модели, - случайная ош. модели, называется линейной регрессией, если ф-я регрессии имеет вид: , где

- параметры регрессии, – регрессоры, n- кол-во факторов модели.

Коэф-ты линейной регрессии показывают скорость изменения зависимой переменной по данному фактору, при фиксированных остальных факторах:

– вектор-столбец параметров.