Математическая обработка многократных измерений одной величины

Если одна и та же величина измерена n раз, необходимо выполнить математическую обработку этих изм.

Выполнены неравноточные многократные изм. одной и той же величины: x₁,x₂,…,x_n с весами p₁,p₂,…,p_n

Окончательным, наиболее надежным значением изм. величины будет среднее весовое .

На практике для упрощения вычислений вводят приближенное значение изиер. величины x₀ , так, что , где - остатки.

Принимают , наименьшему рез-ту изм. С учетом этого, получим:

контроля вычислений определяют ошибку округления среднего весового. С этой целью величину вычисляют с двумя лишними десятичными знаками, по сравнению с рез-ми изм. Это будет _точ. Округлив один запасной знак, получают _пр(принятое).

–ошибка округления

вычисляют поправки к рез-м изм.:

контрольную ф-лу:

Умножим левую и правую части этого рав-ва на соответствующий вес и сложим по столбцам.

-контроль вычисления среднего весового

контрольную ф-лу для :

последнее рав-во в квадрат, умножим на веса и сложим по столбцам:

-контроль

Оценка точности рез-в изм. производится по ф-ле Бесселя: - ско единицы веса

Оценка точности окончательного рез-та: - ско среднего весового.

Оценка точности по разностям двойных измерений

В практике геод. изм. в целях контроля и повышения точности каждую величину изм. независимо несколько раз. При этом часто ограничиваются двумя изм., поэтому такие измерения называют двойными. Чем точнее выполняют двойные измерения, тем ближе будет сходимость рез-в в каждой паре изм.

1)Пусть имеем ряд парных равноточных изм. . Разности двойных измерений:

Истинные погрешности разностей равны самим разностям.

Если , то изм. разности есть ош. случайного хар-ра. Тогда ско одной такой разности определяется по ф-ле Гаусса: , где n-число всех разностей; , то m-ош. отдельного изм.

, то можно предположить, что рез-ты изм. содержат остаточную систематическую ош., которую следует исключить из разностей двойных изм.

систематическая ош. одной разности .

Исключив из каждой разности двойных изм. , имеем: , где - уклонения разностей от их арифметической середины, они являются вероятнейшими ош. этих разностей. Тогда ско разности двойных изм. может быть найдена по ф-ле Бесселя: ,а ош. отдельного изм. .

Контроль суммы: . Ско среднего арифметического значения двойного измерения:

имеем ряд парных рез-в изм. ; в каждой паре рез-ты равноточны, но каждая пара в ряде изм. неравноточна др. парам. Разность для каждой пары изм. будет: Рассматривая разности как алгебраическую сумму величин можно написать: . Поскольку разности d можно рассматривать как истинные ош. , то, применяя ф-лу для неравноточных изм., получим ско единицы веса: . Тогда ско одного изм. , а ско среднего рез-та: .

ф-лы справедливы в случае, когда разности двойных изм. не содержат систематических ошибок, т.е. если незначима. Величина считается значимой, если соблюдается нерав-во:

Исключив из каждой разности двойных изм. систематическую ош. , получим : Полученные разности можно рассматривать как вероятнейшие ош. изм. с весами . Тогда ско единицы веса: .