4 Коливання систем з двома ступенями свободи
4.1 Вільні коливання систем з двома ступенями свободи
Розглянемо вільні коливання механічної системи, що має два ступені свободи. Прикладами таких систем є: механічна система пов'язаних маятників (рис. 4.1), пов'язані електричні контури (рис. 4.2), трьохатомна молекула (рис. 4.3).
Рисунок 4.1– Пов'язані маятники
Рисунок 4.2 – Коливальні контури з індуктивним зв'язком
Рисунок 4.3 - Трьохатомна молекуда води
Використовуючи вирази кінетичної і потенційної енергій системи в узагальнених координатах і , рівняння Лагранжа призводять до диференціальних рівнянь вільних коливань виду
(4.1)
Уявімо систему (4.1) у формі
(4.2)
звідки видно, що
ліві частини є рівняннями лінійних
консервативних систем, а праві частини
характеризують сили зв'язку між ними.
Коефіцієнти
,
характеризують
зв'язок між так званими парціальними
системами.
Будь-яку складну систему з двома ступенями свободи можна розглядати як систему, що складається з двох окремих систем з одним ступенем свободи, пов'язаних один з одним. Ці окремі системи називають парціальними. Зв'язність систем означає, що коливання в одній системі впливають на коливання в інший і навпаки.
Будь-яку складну систему з двома ступенями свободи можна розглядати як систему, що складається з двох окремих систем з одним ступенем свободи, пов'язаних один з одним. Ці окремі системи називають парціальними. Зв'язність систем означає, що коливання в одній системі впливають на коливання в інший і навпаки.
Приймемо для подальшого вивчення коливання системи, що парціальна система, відповідна даної незалежної координаті, отримана з повної, коли всі координати системи, крім данної, рівні тотожно нулю.
З (4.2) видно, що парціальні частоти рівні
,
.
З властивостей позитивної визначеності квадратичних форм Т та П випливає, що
(4.3)
(критерій Сильвестра).
Приватні рішення системи (4.1) шукаємо у вигляді простого гармонійного закону:
,
. (4.4)
Підставляючи (4.4) в рівняння (4.1) одержимо рівняння для амплітуд
(4.5)
Позначимо відношення
узагальнених координат, рівне відношенню
амплітуд коливань,
через
. (4.6)
Нетривіальне рішення системи (4.5) буде тільки в тому випадку, коли її визначник дорівнює нулю, що дає рівняння власних частот коливань
.
(4.7)
або
(4.8)
Досліджуємо функцію
.
Коефіцієнт при
(див.
4.8) і вільний член більше нуля згідно
критерію Сильвестра (4.3): це означає, що
графік функції є парабола з гілками,
спрямованими вгору. З (4.8) видно, що при
рівної
однієї з парціальних частот
та
.
Корені рівняння (4.8) визначають власні
частоти системи.
Зобразимо графік функції (рис. 4.4).
Рисунок 4.4 – Закон розподілу власних частот системи
Графік
ілюструє відому теорему
Релея:
нижча частота
власних
коливань системи завжди менше найменшої
парціальної частоти
,
а вища частота завжди більше найбільшої
парціальної частоти
.
Відповідні частотам
і
коливання називають
головними
коливаннями
системи. Меншу з частот
називають
основною
частотою, а
перше головне коливання називають
основним
коливанням
(воно є основним у результуючому русі
системи). Визначивши
і
,
з рівняння (4.8) знайдемо два значення
,
відповідні кожному з головних коливань:
(4.9)
Величини
,
характеризують форми
головних коливань
і їх називають коефіцієнтами розподілу
амплітуд, тобто вони показують у скільки
разів амплітуда відповідного коливання
в одній з координат більше (або менше)
амплітуди іншої координати.
Позначивши значення узагальнених координат і амплітуд коливань, відповідних першому головному коливанню, індексом (1), маємо
(4.10)
для другого головного коливання - індексом (2), то
(4.11)
Загальне рішення системи диференціальних рівнянь (4.1) виходить шляхом підсумовування приватних рішень
(4.12)
де
,
,
і
знаходяться з початкових умов.
Висновки:
1. Рішення (4.12) показує, що кожне з головних коливань окремо є простим гармонійним коливанням, але результуючий рух являє собою складний рух.
2. Якщо система здійснює одне з головних коливань (див. 4.12), то обидві узагальнені координати змінюються синхронно, тобто мають однакові частоти і фази коливань.
3. У кожному з головних коливань амплітуди знаходяться в постійному співвідношенні ( або ), що не залежить від початкових умов і залежить тільки від структури системи.