3.2.2 Дисипативний осцилятор з нелінійним загасанням
А) Випадок механічної системи з нелінійно-в'язким тертям. Метод енергетичного балансу.
Диференціальне рівняння руху має вигляд
. (3.7)
Наближене рішення
рівняння вимушених коливань можна
знайти методом енергетичного балансу,
суть якого полягає в заміні нелінійної
сили
еквівалентною
в енергетичному відношенні лінійною
силою
.
Коефіцієнт
визначається
з умови рівності робіт, що здійснюються
обома силами за один період, тобто
.
(3.8)
Більше того, наближено приймаємо, що встановлено рішення (3.7) як і у випадку лінійного тертя, має вигляд
. (3.9)
Записуючи рівняння
(3.8) для напівперіоду (оскільки швидкість
не змінює знак), і підставляючи (3.9) в
(3.8), знаходимо
, (3.10)
де
.
Якщо взяти для сили тертя нелінійний закон виду
,
то (3.10) дає значення
, (3.11)
де
–
ейлеров
інтеграл другого роду.
Звертаючись до відомого рішенням лінійної задачі (див. 3.1) знаходимо рівняння для амплітуди
; (3.12)
тут
.
Задаючись
тепер конкретним значенням нелінійності
“
”,
“
”,
можна побудувати при різних
сімейство резонансних кривих.
Б) Контур з нелінійним загасанням. Метод гармонійного наближення.
Схема контуру представлена на рис. 3.7.
Рисунок 3.7– Схема контуру з нелінійним загасанням
Нехай
.
Тоді рівняння, що описує поведінку контура, в безрозмірному вигляді прийме вигляд:
,
(3.13)
де
,
,
,
,
,
,
.
У гармонійному наближенні рішення шукаємо у вигляді
.
(3.14)
З (3.13) отримуємо
систему для визначення
,
,
,
(3.15)
(3.16)
(3.17)
де
.
Перше рівняння (3.15) дає величину постійної напруги зміщення на ємності за рахунок несиметрії нелінійного опору. Рівняння (3.16) і (3.17) дозволяють знайти амплітуду вимушених коливань
або
. (3.18)
Задаючись
параметрами впливу
і
,
сімейство резонансних кривих
отримуємо
з (3.18).
Залишаючи питання побудови резонансних кривих на самостійне дослідження, зазначимо лише на вимогу обережності в передбачуваних висновках про вимушені коливання у нелінійних системах внаслідок прийнятих припущень, покладених в основу знайдених рішень.
Наприкінці даного розділу вкажемо ще на один метод (метод повільно мінливих амплітуд) аналізу поведінки слабонелінейних систем при гармонійному зовнішньому впливі. З основами методу читач може ознайомитися у відомих навчальних посібниках [1-4].
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДО РОЗДІЛУ 3
1. Яким чином можна знайти час встановлення коливань?
2. Час розгойдування системи більше за наявності або відсутності опору? Відповідь обгрунтуйте.
3. Чи залежить частота вимушених коливаннь від характерис-тик коливальної системи?
4. Отримайте рішення вимушених коливань системи без дисипації у разі резонансу.
5. Якою особливістю володіє залежність амплітуди вимушених коливань від частоти впливу, що обурює в нелінійних системах?