
- •1.1 Вільні коливання систем з одним ступенем 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000свободи...............….….7
- •1.5 Вільні коливання в електричному контурі з нелінійної ємністю...19
- •4.2 Биття…………………………………………………………………..58
- •5.1 Загальні поняття….…………………………………………………..69
- •1 Коливання систем з одним ступенем свободи
- •Вільні коливання систем з одним ступенем свободи
- •1.2 Лінійні коливальні системи без тертя
- •1.3 Метод фазової площини
- •1.4 Вільні коливання систем з нелінійною відновлювальною силою. Метод послідовних наближень
- •1.5 Вільні коливання в електричному контурі з нелінійною ємністю
- •1.6 Вільні коливання в контурі з нелінійною індуктивністю
- •Вільні коливання в дисипативних системах з одним ступенем свободи
- •Випадок сухого тертя
- •Випадок лінійного тертя
- •2.3 Якісний розгляд вільних коливань в дисипативних системах
- •2.4. Негативна диссипація
- •3 Вимушені коливання систем з одним ступенем свободи
- •3.1 Вимушені коливання в лінійних системах при гармонійній обурюючий силі
- •3.2 Вимушені коливання нелінійного дисипативної осцилятора
- •3.2.2 Дисипативний осцилятор з нелінійним загасанням
- •4 Коливання систем з двома ступенями свободи
- •4.1 Вільні коливання систем з двома ступенями свободи
- •4.2 Биття
- •4.3 Нормальні координати
- •4.4 Резонанси в системі з двома ступенями свободи. Фільтри
- •5 Параметричні коливання систем з одним ступенем свободи
- •5.1 Загальні поняття
- •5.2 Коливання при відсутності тертя
- •5.3 Параметричне гармонійне обурення
- •6 Автоколивання в системах з одним ступенем свободи
- •6.1 Основні фізичні визначення та класифікація коливальних систем
- •6.2 Якісний аналіз рівнянь Ван-дер-Поля
- •6.3 Коливальні системи з нелінійним тертям
- •6.4 Метод енергетичного балансу в задачах визначення стаціонарного режиму автоколивальних систем
- •7 Коливання в впорядкованих структурах. Хвильове рівняння
- •7.1 Загальні зауваження
- •7.2 Поперечні коливання струни з вантажами
- •7.3. Граничний перехід до суцільного середовища. Хвильове рівняння
- •8 Скалярні і векторні хвилі
- •8.1 Початкові відомості про хвилі
- •8.2 Гармонійні хвилі
- •8.3 Інші типи синусоїдальних хвиль
- •8.4 Рівняння хвиль в поглинаючої середовищі
- •8.5 Рівняння плоскої хвилі, що поширюється в довільному напрямі
- •8.6 Поздовжні пружні хвилі у твердому тілі
- •8.7 Енергія пружних хвиль
- •8.8 Перенесення енергії пружною хвилею. Енергетичні співвідношення
- •8.9 Стояча хвиля
- •8.10 Векторні хвилі. Поляризація
- •9 Електромагнітні хвилі
- •9.1 Рівняння Максвелла та їх фізичний зміст
- •9.2 Загальні відомості плоского електромагнітного поля
- •9.3 Плоскі хвилі
2.3 Якісний розгляд вільних коливань в дисипативних системах
Звернемося до подання розглянутого руху на фазовій площині. Відома процедура методу ізоклин призводить до них рівнянням
(2.6)
де
,
.
Перепишемо рівняння ізоклин (2.6) у вигляді
(2.7)
Нульова ізоклина
тепер
не збігається з віссю
і проходить через другий і четвертий
квандранти (рис.2.5), коли
(дисипація
позитивна). Фазові траєкторії представляють
спіралі,
що
накручуються на початок координат.
Особлива точка називається стійким
фокусом.
У випадку
(режим
апериодичного
руху) фазовий портрет представляється
деформованими параболами (рис.2.6), а
особлива точка називається стійким
вузлом.
Рисунок 2.5 – Фазовий портрет лінійного системи зі слабкою диссипацією
Рисунок 2.6 – Фазовий портрет лінійної системи з сильним загасанням
2.4. Негативна диссипація
Розглянуті вище сили тертя були спрямовані протилежно відповідним швидкостями, сприяли загасання рухів і називалися дисипативними силами.
Формально можна
припустити існування сил,
які лінійно
залежать від швидкості, але збігаються
з нею за напрямком. У рівнянні (2.1) стане
і його рішення прийме вигляд
тобто коливання будуть наростаючими за будь-яких як завгодно малих початкових збуреннях; положення рівноваги нестійке. Таким чином, такі сили сприяють розгойдуванню коливань. Фазові портрети представлені на рисунках 2.7 і 2.8 з особливими точками - нестійкий фокус і нестійкий вузол відповідно.
Рисунок 2.7– Фазовий портрет нестійкої рівноваги системи при малому терті
Рисунок 2.8 – Фазовий портрет нестійкої рівноваги при великому терті
Наведемо приклад механічної системи, в якій може виникнути сила «негативного тертя». Обертається з постійною швидкістю барабан 3 (рис.2.9), щільно притиснутий до тіла 1, закріпленого на пружинах 2.
Рисунок 2.9 – Механічна система з негативним тертям
Рисунок 2.10 – Графік залежності сили тертя від швидкості руху
Видима
реальна характеристика сили сухого
тертя між тілами 1 і 3 показана на рис
2.10, де
–
швидкість ковзання при спокої тіла 1.
Диференціальне рівняння руху тіла 1 має вигляд:
(2.8)
тут
Враховуючи зміну
при
бачимо, що рівняння (2.8) відповідає
випадку розгойдування коливань.
Зазначимо, що дане рішення застосовується лише до пояснення початкової стадії розвитку коливань, тому при зростанні амплітуди слід враховувати нелінійність сил тертя.
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДО РОЗДІЛУ 2
1. Що називають ізоклинами? Наведіть приклади їх використання.
2. Які зміни зазнає фазовий портрет лінійних коливальних систем в разі сильної дисипації?
3. Отримати диференціальне рівняння (2.8) системи з негативним тертям.
4.
Побудувати
фазові портрети для рівнянь:
.
3 Вимушені коливання систем з одним ступенем свободи
Коливальні процеси в системах, що викликаються зовнішнім впливом, що залежить явно від часу і не залежить від руху системи, називають вимушеними коливаннями.
При вивченні зовнішнього впливу розрізняють силовий і параметричний вплив. У першому випадку параметри коливальної системи не змінюються і, навпаки, у другому - змінюються лише параметри.
На рисунках показані прості механічні системи та електрична система при зовнішніх впливах (рис. 3.1 - маятник з силовим впливом, рис. 3.2 - маятник з кінематичним порушенням, рис. 3.3 - електричний контур зі збудливою е.р.с.).
Рисунок 3.1 – Маятник під дією зовнішньої сили
Рисунок 3.2 – Кінематичний вплив на маятник
Рисунок 3.3 – Коливальний контур під дією зовнішньої напруги