8.9 Стояча хвиля

Нехай скалярна фізична величина S змінюється за законом:

,

тобто величина S у всіх точках простору здійснює гармонічні коливання з однаковою частотою і фазою, але з амплітудами різними для різних точок. Таке явище називають стоячеюй хвилею.

Розглянемо окремий випадок плоскої стоячої хвилі виду . Покажемо, що суперпозиція двох хвиль однакової частоти і амплітуди, що біжать в протилежних напрямках, хвиль утворює стоячу хвилю.

Нехай і . Тоді перетвориться до виду:

. (8.25)

Вираз (8.25) є рівняння стоячої хвилі. Змінюючи початок відліку координати і моменту часу рівняння (8.25) можна привести до стандартного виду:

. (8.26)

З (8.26) видно, що амплітуда результуючої стоячої хвилі для заданих в два рази більше амплітуд кожної бігучої хвилі. Максимальні значення амплітуди знаходяться з умови: . Тоді положення точок простору, де виконується ця умова, визначається рівністю:

(8.27)

де – довжина хвилі.

Такі точки називають пучностями стоячої хвилі. Точки простору, в яких коливання величини відсутні, називають вузлами стоячої хвилі.

8.10 Векторні хвилі. Поляризація

Нехай деяка векторна величина (наприклад, швидкість , напруженість електричного поля або напруженість магнітного поля і т.п.) є функцією координат і часу. Обмежимося випадком плоского недеформірованной хвилі .

Якщо вектор перпендикулярний до напрямку поширення хвилі (тобто до осі ), хвиля називається поперечною, якщо вектор паралельний напряму поширення, хвиля називається поздовжньою. У загальному випадку вектор має і подовжню і поперечну складові.

Випадок поздовжньої векторної хвилі мало відрізняється від випадку скалярної хвилі. Замість вектора тут можна розглянути скаляр .

Окремим випадком поперечної хвилі є той, коли вектор має в усіх точках простору однаковий і постійний в часі напрямок. Маючи, наприклад, вісь вздовж цього напрямку, зміну вектора можна описати завданням скаляра . Але цей випадок принципово відрізняється від скалярної хвилі, так як різні напрями, перпендикулярні до напрямку її поширення не є рівноправними між собою (наприклад, напрямки вздовж осей і ).

Розглянемо більш загальний випадок поперечної хвилі. Назвемо синусоїдальною поперечною хвилею таку, яка описується рівняннями:

, (8.29)

де постійні.

Відповідними перетвореннями виразів (8.29) можна довести, що кінець вектора при фіксованому описує еліпс (рис.8.4), рівняння якого має вигляд:

. (8.30)

Рисунок 8.4 – Графік ілюстрації еліптичної поляризації

У цьому випадку говорять, що синусоїдальна поперечна хвиля еліптично поляризована. Зокрема, якщо , , то еліпс (8.30) ставати окружністю і тоді говорять, що хвиля поляризована по колу. У кожен момент часу кінці вектора , пов'язані з різними точкам будь-якої прямої, паралельної осі , розташовані по гвинтовій лінії. Зі зміною часу ця гвинтова лінія переміщується вздовж осі не обертаючись і не деформуючись (рис. 8.5, б). Тут же легко зрозуміти «ліву» і «праву» поляризації.

Якщо , або , і або , то еліпс вироджується в пряму лінію. Таку хвилю називають лінійно-поляризованою (рис. 8.5, а).

Рисунок 8.5 – Геометричне уявлення лінійно-поляризованої хвилі і хвилі, поляризованої по колу

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДО РОЗДІЛУ 8

1. У чому полягає відмінність між хвильовим фронтом і хвильовою поверхнею?

2. Визначити як змінюється щільність матеріалу пружного стержня при поширенні в ньому плоскої хвилі.

3. Знайти залежність амплітуди сферичної хвилі від відстані .

4. Знайти залежність амплітуди циліндричної хвилі від відстані .