5 Параметричні коливання систем з одним ступенем свободи

5.1 Загальні поняття

До цих пір ми розглядали коливальні системи, на які діяли відновлюючі сили, які залежать від узагальнених координат , дисипативні сили, які залежать від узагальнених швидкостей і змушують сили, що є заданими функціями часу .

Однак існують сили і більш складної природи, які залежать від , .

.

таким чином, виділити складові, які залежать тільки від координат і тільки від часу неможливо.

Так, наприклад, у випадку найпростішої лінійної системи рівняння руху можна представити у вигляді

(5.1)

де параметр “ ” залежить від часу; воно і описує параметричні коливання. Обмежимося лише нагодою періодичної «модуляції» параметра, тобто .

Відразу відзначимо, що в залежності від параметрів системи амплітуди параметричних коливань залишаються обмеженими або зростають з часом. Це явище називається параметричним резонансом. Параметричний резонанс має місце при виконанні певних співвідношень між частотою зміни параметра і частотою порушених коливань, близькою або збігається з власною частотою системи, а також при виконанні умов, що стосуються глибини модуляцій параметра.

Наведемо два простих приклади параметричних систем. Для маятника довжиною , масою вантажу і заданим періодичним законом руху точки підвісу (рис.5.1) диференціальне рівняння щодо руху

Рисунок 5.1– Маятник з точкою підвісу, яка коливається

або

(5.2)

відноситься до типу параметричних (5.1).

Рисунок 5.2 – Контур зі змінною ємністю

Рисунок 5.3 – Кусково-постійна залежність ємності від часу

Рисунок 5.4 – Синусоїдальна залежність ємності

В електричному контурі (рис. 5.2) зі змінною ємністю за рахунок якогось зовнішнього пристрою з періодичним кусочно-постійним (рис. 5.3) або синусоїдальним (рис. 5.4) законом можливі при певних умовах як стійкі так і наростаючі коливання.

5.2 Коливання при відсутності тертя

Розглянемо випадок параметричного збудження за законом (рис.5.3). Рівняння (5.1) можна переписати у вигляді

, (5.3)

де . Так як протягом напівперіоду рівняння (5.3) має постійні координати, то можна скористатися способом "зшивання" рішень.

Таким чином, диференціальні рівняння за час і мають відповідно вигляд:

, (5.4)

і

. (5.5)

Рівняння (5.4) і (5.5) мають рішення:

(5.6)

де , . Для визначення постійних , , , сформулюємо початкові умови. Дві умови очевидні: при вимоги зшивання запишуться у вигляді:

, . (5.7)

Два інших рівності:

, (5.8)

показують, що при закінченні періоду узагальнена координата й узагальнена швидкість змінилися в раз. Величина поки невідома.

Якщо , то коливання в кожному наступному періоді посилюються, а при – загасають. Таким чином стійкість системи визначається модулем . Підставляючи (5.6) в (5.7) і (5.8), отримуємо однорідну систему алгебраїчних рівнянь, нетривіальне рішення якої вимагає виконання умови

, (5.9)

де

. (5.10)

Тут є відношення середнього значення власної частоти системи до частоти пульсацій.

Запишемо корені (5.10)

, . (5.11)

Щоб , були речовими потрібне виконання умови або

, (5.12)

Тобто , або . А значить в обох випадках один з коренів (5.11) більше одиниці. Отже, умова (5.12) являється умовою виникнення параметричного резонансу.

Значення залежить від двох характеристик системи і , значення яких і визначають стійкість системи.

Діаграма стійкості представлена на рис 5.5 Заштриховані області відповідають стійким станам системи, незаштрихованими - нестійким. З (5.10) при слід

і умова виникнення резонансу при довільних дає , звідки

. (5.13)

Рисунок 5.5 – Діаграма стійкості параметричних коливань в контурі

З (5.13) видно, що коли середнє значення власної частоти вдвічі менше ( –основне значення) частоти модуляції параметра, параметричний резонанс виникає при скільки завгодно малій глибині параметра збудження.

Розширення зони нестійкості (див. рис. 5.5) показує, що при збільшенні значення відбудуватися від параметричного резонансу важче; в цьому сенсі він більш небезпечний, ніж звичайний резонанс.

На закінчення відзначимо вплив лінійного тертя на параметричні коливання. Умова виникнення параметричного резонансу стає більш жорсткою, ніж умова (5.12) і означає необхідність певного порогового значення глибини пульсації .