4.2 Биття
Розглянемо систему
з двома ступенями свободи за умови
близькості власних частот:
.
Тоді рішення (4.12) для узагальненої
координати, наприклад,
(4.13)
можна записати у вигляді
(4.14)
Введемо позначення:
и
,
які називають «середньою» частотою і частотою «модуляції» відповідно. Замість (4.14) зручно записати
,
(4.15)
де
,
–
повільно мінливі періодичні функції
часу.
Остаточно отримуємо замість (4.13) функцію
,
(4.16)
де
,
,
тобто рух носить синусоїдальний характер з амплітудою, що періодично повільно змінюється. Графік зміни зображений на рис. 4.5 .
Рисунок 4.5 – Графік биття однієї узагальненої координати
Такі коливання називаються биттям. Рух, відповідний координаті , також відбувається за законом биття, але зрушеним по фазі щодо . Цей факт свідчить про обмін енергією між ступенями свободи.
Відзначимо, що в будь-якій системі з двома ступенями свободи можна створити биття.
4.3 Нормальні координати
Нормальними називаються узагальнені координати, які обрані таким чином, що кінетична енергія системи містить тільки квадрати узагальнених швидкостей, а потенційна енергія - квадрати узагальнених координат.
Якщо позначити
нормальні координати через
і
,
то
,
а
і рівняння Лагранжа дають два незалежних диференціальних рівняння
Зв'язок між узагальненими координатами , , та , має вигляд
,
,
де коефіциєнти
та
визначаються з виразів кінетичної
і
потенційної
енергій через узагальнені координати
,
і
умов визначення
і
.
Коливання виду
,
і
,
називають нормальними
коливаннями
або нормальними
модами. Ці
поняття узагальнюються на системи з
великим числом ступенів свободи, а також
на системи з розподіленими параметрами.
Нормальні координати мають, головним
чином, теоретичне значення для доказу
різних положень теорії коливань.
4.4 Резонанси в системі з двома ступенями свободи. Фільтри
Розглянемо вимушені
коливання системи з двома ступенями
свободи. У цьому випадку на точки системи,
крім сил, що
мають потенціал, діє возмущающие сили
,
які є
деякими заданими функціями часу
.
Рівняння Лагранжа для даної системи
мають вигляд
(4.17)
Приймаємо, що
узагальнені возмущающие сили
є простими гармонійними функціями часу,
що мають однакову частоту
і фазу
,
тобто
. (4.18)
Тоді диференціальні рівняння вимушених коливань цієї системи мають вигляд
(4.19)
Загальний інтеграл системи однорідних рівнянь, відповідних (4.19), вже нам відомий і характеризує вільні коливання системи (див. 4.12).
Приватні рішення системи (4.19) будемо шукати у вигляді
.
(4.20)
Підставляючи
(4.20) в рівняння (4.19) і скорочуючи на
,
отримуємо
(4.21)
З цієї системи маємо наступні вирази для амплітуд вимушених коливань:
(4.22)
.
Підставивши (4.22) в рівняння (4.20) встановлюємо наступне:
1. Вимушені коливання системи є гармонійними і мають частоту і фазу збурюючих сил.
2. Амплітуди вимушених коливань системи не залежать від початкових умов і визначається тільки властивостями системи і діють на них силами.
Загальні інтеграли диференціальних рівнянь (4.19) тепер мають вигляд:
При цьому частоти
і
і коефіцієнти розподілу
і
нам уже відомі (див. (4.8), (4.9)). Так як
знаменник у виразах для амплітуд (4.22)
,
є квадратним многочленом відносно
,
а корені
цього многочлена є квадрати частот
головних коливань системи
і
,
то формули (4.22) можна представити у
вигляді
(4.23)
При
бо
амплітуди
і
зі збільшенням часу необмежено зростають,
тобто маємо явище
резонансу.
У разі резонансу вираз (4.20) не є окремим рішенням системи диференціальних рівнянь вимушених коливань (4.19).
Для отримання
приватного рішення у разі резонансу
скористаємося головними координатами
системи
і
.
Диференціальні рівняння вимушених коливань системи мають такий вигляд:
(4.24)
де
Приватні рішення рівнянь (4.19) тепер мають вигляд
(4.25)
Переходячи до узагальнених координат і отримуємо, наприклад для :
(4.26)
Висновок: наведене рівняння (4.26) показує, що у разі резонансу у вирази узагальнених координат входять члени, що містять час у вигляді множника перед тригонометричною функцією. Зі збільшенням часу ці члени необмежено зростають, що і відповідає явищу резонансу.
Визначимо тепер відношення амплітуд вимушених коливань
,
яке при і зберігає кінцеве значення і дорівнює:
при
,
при
.
Висновок: отримані співвідношення показують, що у разі резонансу форми вимушених коливань системи аналогічні відповідним формам головних коливань.
Динамічний гаситель коливань (фільтр).
Розглянемо випадок, коли одна з узагальнених збурюючих сил дорівнює нулю. Покладемо, що
а
Тоді
при
вираження амплітуд
вимушених коливань (4.23) спрощуються і
при
,
тобто
при
маємо
Висновок: таким чином при вимушені коливання, що відповідають першій узагальненій координаті, повністю гасяться.
На цьому принципі заснована теорія динамічних гасителів (фільтрів).
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДО РОЗДІЛУ 4
1. Які системи називаються парціальними системами?
2. Наведіть приклади неоднозначного вибору парціальних систем для даної складної системи.
3. Розв'яжіть рівняння (4.8) для власних частот системи і побудуйте графік (так званий графік Вина) їх зміни від співвідношення парціальних частот. Обговоріть результати.
4. Поясніть принцип роботи динамічних гасителів.
5. Отримайте квадратичні форми кінетичної і потенційної енергій для систем з двома ступенями свободи.