КАФЕДРА РАДІОФІЗИКИ

НАВЧАЛЬНИЙ ПОСІБНИК

«КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ В ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМАХ»

Рекомендовано

на засіданні каф .радіофізики

Протокол № 10 від12.05.2011р.

Затверджено:

на засіданні методради ДонДТУ

Протокол №___ від ________ р.

Алчевськ

ДонДТУ

ЗМІСТ

ВСТУП…………..……………………………………………....................6

1 КОЛИВАННЯ СИСТЕМ З ОДНИМ СТУПЕНЕМ СВОБОДИ…........7

1.1 Вільні коливання систем з одним ступенем 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000свободи...............….….7

1.2 Лінійні коливальні системи без тертя ………..............................…...8

1.3 Метод фазової площини ……………………................………….…..9

1.4 Вільні коливання систем з нелінійною відновлювальною силою. Метод послідовних наближень ……........................................................13

1.5 Вільні коливання в електричному контурі з нелінійної ємністю...19

1.6 Вільні коливання в електричному контурі з нелінійною

індуктивністю.............................................................................................23

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДО РОЗДІЛУ 1……....28

2 ВІЛЬНІ КОЛИВАННЯ В ДИСИПАТИВНИХ СИСТЕМАХ З ОДНИМ СТУПЕНЕМ СВОБОДИ……....................................................29

2.1 Випадок сухого тертя …………………………...……...........……....29

2.2 Випадок лінійного тертя ……………………................…………….29

2.3 Якісний розгляд вільних коливань в дисипативних системах …....33

2.4 Негативна діссіпація ……………………......................………….....35

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДО РОЗДІЛУ 2………38

3 ВИМУШЕНІ КОЛИВАННЯ СИСТЕМ З ОДНИМ СТУПЕНЕМ СВОБОДИ…………………………………..........................................….39

3.1Вимушені коливання в лінійних системах при гармонійній обурюючий силі......................................................................................... 40

3.2 Вимушені коливання нелінійного дисипативного осцилятора …..43

3.2.1Консервативна система з нелінійною відновлювальною силою..44

3.2.2 Дисипативний осцилятор з нелінійним загасанням......................47

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДО РОЗДІЛУ 3…......…51

4 КОЛИВАННЯ СИСТЕМ З ДВОМА СТУПЕНЯМИ СВОБОДИ...... 52

4.1 Вільні коливання систем з двома ступенями свободи……………..52

4.2 Биття…………………………………………………………………..58

4.3 Нормальні координати …………………….……………………...…60

4.4 Резонанси в системі з двома ступенями свободи. Фільтри…….….62

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДО РОЗДІЛУ 4...............68

5 ПАРАМЕТРИЧНІ КОЛИВАННЯ СИСТЕМ З ОДНИМ СТУПЕНЕМ СВОБОДИ………………………………………………………………...69

5.1 Загальні поняття….…………………………………………………..69

5.2 Коливання при відсутності тертя …………………...………………72

5.3 Параметричне гармонійне обурення ……………………………….76

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДО РОЗДІЛУ 5………...77

6 АВТОКОЛИВАННЯ В СИСТЕМАХ З ОДНИМ СТУПЕНЕМ СВОБОДИ………………………………………………………………...78

6.1 Основні фізичні визначення і класифікація коливальних систем……………………………………………………………….…….78

6.2 Якісний аналіз рівнянь Ван-дер-Поля ………………………...……80

6.3 Коливальні системи з нелінійним тертям ………………………….81

6.4 Метод енергетичного балансу в задачах визначення стаціонарного режиму автоколивальних системах…………………….82

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДО РОЗДІЛУ 6……...…85

7 КОЛИВАННЯ В УПОРЯДКОВАНИХ СТРУКТУРАХ. ХВИЛЬОВЕ РІВНЯННЯ ……………………………………………….86

7.1 Загальні зауваження……………………….………………………...86

7.2 Поперечні коливання струни з вантажами ………………………...87

7.3 Граничний перехід до суцільного середовища. Хвильове рівняння…………………………………………………………………...91

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДО РОЗДІЛУ 7…….......93

8 СКАЛЯРНІ ТА ВЕКТОРНІ ХВИЛІ……………........................……..94

8.1 Початкові відомості про хвилі …………………...............................94

8.2 Гармонійні хвилі ………………………………….............................96

8.3 Інші типи синусоїдальних хвиль ………………………...................98

8.4 Рівняння хвиль в поглинаючому середовищі ……............………...98

8.5 Рівняння плоскої хвилі, що поширюється в довільному

напрямі .......................................................................................................99

8.6 Поздовжні пружні хвилі у твердому тілі …………………............102

8.7 Енергія пружних хвиль ……………………………………….........104

8.8 Перенесення енергії пружною хвилею. Енергетичні співвідношення ………............................................................................106

8.9 Стояча хвиля…………………………………………………...........109

8.10 Векторні хвилі. Поляризація…………………………...................110

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДО РОЗДІЛУ 8….........113

9 ЕЛЕКТРОМАГНИТНІ ХВИЛІ……………………..………………..114

9.1 Рівняння Максвелла і їх фізичний зміст…………..........................114

9.2 Загальні відомості плоского електромагнітного поля ......….........116

9.3 Плоскі хвилі …………………………………………...............……119

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДО РОЗДІЛУ 9……….121

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ..........................................................................123

ВСТУП

Коливаннями називають обмежені повторюються руху фізичної системи в околиці деякого середнього положення, наприклад, стійкого положення рівноваги. Про коливальний процес різних динамічних систем говорять у тих випадках, коли стан конкретних реальних систем замінюють ідеалізованими моделями, що відображають кінцеве число параметрів системи, що змінюються в часі. Коливальні процеси описуються звичайними диференціальними рівняннями.

Коливання, що поширюються в просторі, називають хвилями. Хвильовий процес вимагає для свого опису більш складних математичних моделей. Параметри моделі тепер залежать не тільки від часу, але і від просторових змінних. Тому хвильові процеси описуються рівняннями в приватних похідних.

Існують певні труднощі в тому, що назвати коливальним або хвильовим процесом. Критерієм переходу від одного процесу до іншого може служити умова: нехай - характерний розмір системи; за умови де - це швидкість поширення обурення, якщо процес називають хвильовим, а системи - з розподіленими параметрами.

Класифікацію коливальних систем можна провести по ряду ознак: за кількістю ступенів свободи, за енергетичними ознаками (активні, пасивні системи), за характером диференціальних рівнянь (лінійні, нелінійні системи), куди відносяться параметричні і автоколивальні системи.

Звичайно ж, зазначена класифікація можлива лише при конкретному вибору моделі для реальної системи.