Задача 6 Подбор диаметра вала при изгибе с кручением Условие задачи
Стальной вал, схемы которого занесены в табл. 6.1, передаёт заданную мощность при известной угловой скорости ω. Исходные значения мощности N, угловой скорости ω, длины l, диаметра D1 даны в табл. 6.2.
Требуется:
Используя IV теорию прочности, подобрать диаметр вала, приняв допускаемое напряжение [σ] = 180 МПа.
Значение диаметра вала должно быть принятым из стандартного ряда по ГОСТ 6636-60:
10; 10,5; 11; 11,5; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 24; 25; 26; 28; 30; 32; 33; 34; 36; 38; 40; 42; 45; 48; 50; 52; 55; 60; 63; 65; 70; 75; 80; 85; 90; 95; 100; 105; 110; 120; 125; 130 мм и далее через 10 мм.
Теоретические основы решения
Совместное
действие изгиба с кручением встречается
при расчёте различных валов машин: вала
редуктора, вала коробки скоростей,
шпинделя металлорежущих станков и др.
При расчёте в первую очередь необходимо
определить расчётные значения
изгибающих
и крутящих
моментов.
Валы, как правило, имеют круглое сечение, для которого все центральные оси являются главными.
Нагрузка
чаще всего действует в разных плоскостях,
проходящих через ось вала. Для удобства
вычислений находят изгибающие моменты,
действующие в вертикальной плоскости
(моменты
)
и в горизонтальной (моменты
).
Если эти моменты сложить, то получим
суммарный изгибающий момент
(см. рис.
6.1, а),
который
лежит в главной плоскости инерции
сечения и, следовательно, вызывает
обычный плоский изгиб. Величину суммарного
изгибающего момента
определяют как модуль суммы двух векторов
:
.
(6.1)
От
моментов
и
возникают соответственно нормальные
σ и касательные τ напряжения (рис.
6.1, б),
принимающие наибольшие значения у
поверхности вала, равные
и
,
(6.2)
где
̶ осевой и полярный моменты сопротивления
сечения вала.
Если выделить вокруг опасной точки (у поверхности вала) кубической элемент (рис. 6.1, б) и показать на нём действующие напряжения, то по четырём граням этого элемента будут касательные напряжения τ, на двух из этих четырёх действуют ещё нормальные напряжения σ, и две грани свободны от напряжений.
а б
Рис. 6.1
Выделенный элемент испытывает плоское напряжённое состояние, для которого условие прочности составляют по теориям (гипотезам) прочности, учитывающим одновременное действие нормальных и касательных напряжений. Для сталей, как пластичного материала, используют III и IV теории прочности. Чаще применяют IV (энергетическую) теорию прочности. Запишем по ней условие прочности:
.
(6.3)
Подставив в (6.3) напряжения по (6.2) и изгибающий момент (6.1), будем иметь условие прочности круглого вала в удобной форме:
(6.4)
где
− эквивалентный
(или расчётный)
момент
по IV
теории прочности для опасного
сечения вала,
в котором этот
момент
принимает
наибольшее
значение; опасное сечение вала нужно
установить
по эпюрам моментов
Мx
, Мy
и
;
−
осевой момент сопротивления круглого
сечения диаметра d,
.
(6.5)
По условию задачи требуется подобрать диаметр d вала, т. е. нужно, используя условие прочности (6.4), выполнить проектный расчёт.
Пример решение задачи 6
Исходные данные: мощность N = 21 квт., угловая скорость ω = 10 1/с, длина l = 350 мм, диаметр шкива D1 = 400 мм.
Вычертим заданную схему вала по числовым значениям длины l и диметра шкива D1 (рис. 6.2, а).