Пример решения задачи 5

_{Выполним расчёт при следующих значениях: сосредоточенные силы .Р1 = 0 и Р2 = 16кН, сосредоточенные моменты М1 = 0 и М2= -30 кН∙м, интенсивность распределённой нагрузки q1 = 0 и q2 = -20 кН/м, длины участков L1 = 2 м и L2 = 3 м.}

1. Вычисление опорных реакций

_{Сначала по заданным значениям построим реальную балку (см. рис. 5.4, б). Далее для выполнения расчётов нужно знать величины реактивных сил RA и RB, возникающих в опорах А и В, которые вычислим из уравнений равновесия балки}

_{Для данной балки они принимают вид:}

_{Из этих уравнений получаем}

_{Для проверки правильности найденных реакций опор составим неиспользованное уравнение равновесия}

_:

_{Имеем тождество, значит, реакции опор найдены верно.}

2. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

_{Эпюры поперечных сил Qy и изгибающих моментов Мх – это графики изменения их значений вдоль балки. Они позволяют получить максимальные значения сил Qy моментов Мх, необходимых для расчёта.}

_{Построение эпюр Qy и Мх выполняют по значениям поперечных сил Qy и изгибающих моментов Мх, полученных по грузовым участкам балки. Границами участков являются сечения, в которых приложены сосредоточенные моменты и силы, или имеется начало и конец распределённой нагрузки.}

_{Для каждого участка применяется правило РОЗУ метода сечений:}

_{1) Разрезать балку на 2 части.}

_{2) Отбросить одну из частей.}

_{3) Заменить воздействие отброшенной части на оставленную усилиями Qy и Мх.}

_{4) Уравновесить внешнюю нагрузку и внутренние усилия Qy и Mx, составив два уравнения равновесия отсечённой части:}

_(5.4)

_{Заметим, что здесь за точку О выбираем центр тяжести текущего сечения, и составляем уравнение моментов относительно этой точки от всех воздействий, действующих на оставленную часть балки.}

_{Разобьём балку на два грузовых участка (рис. 5.4, а) и рассмотрим вычисление усилий Qy и Mx на каждом.}

_{1-й участок: , где z1 – координата текущего сечения.}

_{Рассмотрим кусок первого участка балки длиной z1, расположенный по левую сторону от сечения. В сечении возникают изгибающие моменты Мх}¹ _{и поперечные силы Qy}¹_{, которые предполагаем положительного направления: поперечная сила положительна, если её вектор стремится повернуть рассматриваемую часть по часовой стрелке; изгибающий момент Mx в сечении будем считать положительным, если балка изгибается выпуклой стороной вниз.}

а б в г

_{Рис. 5.4}

_{Слева от сечения расположена только сила RA (рис. 5.4, б), поэтому записываем:}

, .

_{Выражение поперечной силы Qy}¹ _{не содержит переменных, следовательно, значение Qy постоянно и равно 14,4 кН. Отложим вверх от базисной линии это значение в масштабе и построим на 1-м участке эпюры Qy прямоугольник (рис. 5.4, в).}

_{Выражение Мх}¹ _{соответствует уравнению прямой. Подсчитаем величины моментов при граничных значениях (z1 = 0 и z1 = l):}

_{При z = 0 ; при м кН∙м.}

_{На базисной линии отложим эти значения и проводим наклонную прямую эпюры Mх на 1-м участке (рис. 5.4, г).}

_{Рассмотрим 2-й участок: . Возьмём участок балки слева от сечения и по (5.2) получаем}

_{Подсчитаем и для граничных значений :}

_{при z2 = 0}

_{при z2 = 3 м кН; .}

_{По этим значениям построим эпюры Qy и Mx на 2-м участке.}

_{Сила изменяется линейно. Отложим в начале участка кН и в конце кН и соединим эти точки наклонной прямой (рис. 5.4, в), прямая пересекла базисную линию в точке К.}

_{Так как функция момента имеет второй порядок по отношению к переменной z2 (это результат наличия распределённой нагрузки на этом участке), то при изображении момента должны изобразить параболу.}

Уточним вид этой параболы с помощью эпюры Q_y и выражения (5.1), записанное по теореме Д.И. Журавского об интегрально-дифференциальной зависимости функций Q_y и М_x. Пересечение наклонной линии Q_y с базисной прямой в точке К вносит следующую _{поправку в изображение параболы: в точке К получается перегиб кривой, т.е. момент получает экстремальное значение .}

_{Необходимо найти этот момент. Для вычисления сначала определим абсциссу этого сечения (рис. 5.4, в), составив уравнение :}

_.

_{Отсюда получаем}

_м.

_{Теперь подсчитаем значение экстремального момента .} Подставим в выражение момента М₂ вместо z₂ значение 1,52 м:

_кН·м.

_{Отложим полученные значения моментов в начале, в конце участка и в сечении К, построим на эпюре моментов параболу (рис. 5.4, г).}

_{Так как целью построения эпюр является получение максимального (расчётного) значения Mmax , то выписываем}

_{Mmax=28,8кН·м.}