Контрольные вопросы

1. Какие колебания называются гармоническими? Дайте определение периода колебаний, частоты. Получите выражения для скорости и ускорения при механических гармонических колебаниях.

2. Запишите закон сохранения энергии для пружинного маятника в предположении, что массой пружины можно пренебречь.

3. Получите дифференциальное уравнение гармонических колебаний пружинного маятника (11.9).

4. Запишите решение уравнения (11.9), получите формулу для периода колебаний.

5. Выведите формулу для кинетической энергии колеблющейся пружины (11.15).

6. Получите и решите дифференциальное уравнение колебаний маятника с массивной пружиной.

7. Чему равен период колебаний маятника с массивной пружиной?

8. В каких случаях применима модель 2 маятника с массивной пружиной?

Используемая литература

[5] § 19.1, 19.2; [3] § 27.1, 27.2; [6] § 3.3; 3.6, 3.7.

Лабораторная работа 1-12

Изучение колебаний математического и физического маятника

Цель работы: изучение колебаний математического и физического маятников и измерение ускорения свободного падения.

Теоретическое введение

К олебательным движением называется процесс, при котором система, многократно отклоняясь от положения равновесия, каждый раз вновь возвращается к нему.

Существует общность закономерностей большого разнообразия колебательных процессов, поэтому все они могут быть сведены к совокупности простейших колебаний – гармонических.

Гармоническим колебательным движением называется такое колебательное движение, при котором колеблющаяся величина изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса. Основные характеристики колебательных процессов можно рассмотреть на примере механических колебаний материальной точки.

Представим себе материальную точку М, равномерно вращающуюся по окружности радиуса А с угловой скоростью ω (рис.12.1). Тогда точка М_х – проекция точки М на ось х – будет совершать периодические колебания вдоль оси х. Смещение колеблющейся точки от положения равновесия вдоль оси х определяется по закону:

, (12.1)

где А – амплитуда колебаний (абсолютное значение максимального смещения), – фаза колебаний, которая определяет угловое смещение точки М в любой момент времени, α₀ – начальная фаза, – круговая (циклическая) частота, равная

; (12.2)

ν – частота колебаний (число полных колебаний в единицу времени, , – число колебаний за время t), – период колебаний (время совершения одного полного колебания). Выражение (12.1) – кинематическое уравнение гармонического колебательного движения.

С корость колеблющейся материальной точки получим, продифференцировав (12.1) по времени:

. (12.3)

Продифференцировав (12.3), получим ускорение а:

. (12.4)

Учитывая (12.1), имеем: , или:

. (12.5)

Выражение (12.5) описывает гармонические колебания величины x и называется дифференциальным уравнением гармонического осциллятора. Его решением является гармоническая функция (12.1). Если вторая производная по времени какой-либо физической величины (не обязательно смещения) пропорциональна самой величине с противоположным знаком, то данная физическая величина изменяется со временем по гармоническому закону.

Любое тело (рис. 12.2), подвешенное в поле силы тяжести так, что точка подвеса О не совпадает с центром тяжести С, называется физическим маятником. Пусть отклонение маятника от положения равновесия характеризуется углом φ. При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращающий момент силы , стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Его величина , где m – масса маятника; – расстояние от центра тяжести маятника до точки подвеса, – плечо силы тяжести (кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения).

Направления вращающего момента и углового перемещения противоположны (момент силы возвращает маятник к положению равновесия), поэтому в проекциях на ось вращения

. (12.6)

По второму закону Ньютона для вращательного движения маятника:

, (12.7)

где – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса;  – угловое ускорение маятника, равное второй производной угла поворота: .

Из уравнений (12.6) и (12.7) имеем:

, или . (12.8)

При малых углах , и уравнение (12.8) будет иметь вид:

. (12.9)

Сравнивая (12.9) и (12.5), устанавливаем, что  изменяется по гармоническому закону с круговой частотой ω, причем

, (12.10)

а период колебаний маятника

. (12.11)

Частным случаем физического маятника является маятник математический. Если вся масса маятника сосредоточена в одной точке (например, шарик, подвешенный на невесомой нерастяжимой нити), то такой маятник называют математическим (рис.12.3). Для математического маятника момент инерции рассчитывается как для материальной точки: , поэтому период его колебаний равен:

. (12.12)

Формулу (12.12) можно получить, непосредственно записав второй закон Ньютона для материальной точки. На шарик, подвешенный на нити (рис.12.3), действуют сила тяжести и сила натяжения нити , тогда

. (12.13)

Сила натяжения нити не имеет касательной составляющей, а проекция силы тяжести для малых углов φ равна , тогда касательное ускорение . Угол отклонения маятника из положения равновесия , где x – отклонение из положения равновесия. Наконец, касательное ускорение – это вторая производная координаты x, тогда

. (12.14)

Отсюда . Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний идентично (12.5), если ; следовательно, (12.12) доказано.

Приведенной длиной физического маятника называется длина такого математического маятника, который имеет тот же период колебаний, что и данный физический маятник:

. (12.15)

В лабораторной работе используется физический маятник в виде кольца (рис.12.4) или в виде однородного тонкого стержня (рис.12.5). Момент инерции маятника относительно точки подвеса О можно найти по теореме Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно данной оси, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями. Для кольца получим:

. (12.16)

Здесь – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса O, I_C – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс – точку C, r – расстояние между осями. Момент инерции полого (толстостенного) цилиндра или кольца массой m с внутренним радиусом r и наружным R относительно оси, проходящей через центр масс, равен:

, (12.17)

Тогда из (12.16) и (12.17) получаем:

, (12.18)

где и – внешний и внутренний диаметры кольца соответственно. Из (12.11) выразим ускорение свободного падения с учетом, что длина физического маятника равна расстоянию от точки подвеса до центра масс, то есть для кольца , и из (12.18) подставим момент инерции:

,

и окончательно:

. (12.19)

Для стержня по теореме Штейнера получим:

, (12.20)

г

L

O

де – момент инерции стержня относительно точки подвеса О, – расстояние между центром масс (центром стержня) и точкой подвеса (длина физического маятника), – момент инерции стержня относительно центра масс:

, (12.21)

L – длина стержня, m – его масса. Можно показать, что для любого маятника приведенная длина l_пр. больше, чем расстояние от центра масс до точки подвеса (длины физического маятника): из (12.15) и (12.20) следует, что

.

Точка О₁, лежащая на прямой ОС на расстоянии l_пр.от точки подвеса маятника (рис.12.5), называется центром качания маятника. Центр качания О₁ и точка подвеса О обладают свойством взаимности: если маятник подвесить так, чтобы его ось качания проходила через точку О₁, то точка О будет совпадать с новым положением центра качания маятника, то есть приведенная длина и период колебаний маятника останутся прежними. Покажем это. По теореме Штейнера момент инерции I₁ маятника относительно оси, проходящей через точку О₁, равен:

. (12.22)

Из (12.20) и (12.22) вычислим :

. (12.23)

Из (12.10) выразим момент инерции маятника и запишем аналогичную формулу для : . Здесь использовано условие, что частота колебаний маятника относительно оси, проходящей через точку О₁, должна быть той же самой, что и для оси, проходящей через точку О. Подставив оба момента инерции в (12.23) получим уравнение:

.

Далее после преобразований: ; и после сокращения на получим: . По определению приведенной длины физического маятника (12.15): , то есть , что и требовалось показать.

Для физического маятника – стержня из (12.15), (12.20) и (12.21):

, или

. (12.24)