1.2.3. Понятие о z-преобразовании
Метод Z – преобразования нашел широкое применение при исследовании импульсных и цифровых систем управления [6]. Если поведение системы достаточно полно описывается только в дискретные моменты времени, то наиболее удобным математическим аппаратом для анализа и синтеза является аналог преобразования Лапласа – дискретное преобразование Лапласа или так называемое Z – преобразование.
Z – преобразованием решетчатой
функции
называется функция комплексного
аргумента Z, определяемая выражением
. (1.5)
Это выражение может быть получено
следующим образом. Если предыстория
системы относительно
учитывается соответствующими граничными
условиями, то допустимо полагать, что
непрерывная функция времени
при t<0. В этом случае, как известно,
функция
может быть заменена изображением по
Лапласу (одностороннее преобразование)
. (1.6)
Выбрав конечный интервал времени равным
периоду дискретности (
)
и представив текущее время в виде
последовательности
,
можно в выражении (1.6) интеграл заменить
суммой, а величину dt периодом
квантования
. (1.7)
Выражение (1.7) представляет собой
дискретное преобразование Лапласа.
Предел этого выражения при
дает преобразование Лапласа непрерывной
величины (1.6).
Если обозначить
,
то
. (1.8)
Обозначив
,
где
– комплексное переменное.
При этом Z-преобразование, как следует из формулы (1.5), отличается от дискретного преобразования Лапласа только множителем Т, то есть
. (1.9)
Итак, преобразование Лапласа для дискретной функции привело к бесконечной сумме. Бесконечная сумма является функцией комплексного переменного .
Операция суммирования носит название
прямого дискретного преобразования
Лапласа (или Z-преобразования) для
решетчатой функции
в функцию комплексного переменного Z.
Эта операция кратко обозначается, как
и указывает, что
есть Z – изображение решетчатой
функции
или, короче,
.
Соответственно является оригиналом . Изображение существует, если (1.5) сходится. На основе выражения (1.5) получены таблицы Z-преобразований различных функций времени. В таблице 1.2 приведены выражения Z-преобразований для некоторых функций времени.
Таблица 1.2
-
Изображение по Лапласу
Z-изображение
1
1
t
nT
Очевидно, что все функции времени,
имеющие одинаковые значения в точках
t=nT оси времени, обладают одинаковыми
Z-преобразованиями
.
Это означает, что связь между функцией
времени
и соответствующим ей Z-преобразованием
не является взаимно однозначной. Функция
характеризует только последовательность
чисел
,
но не позволяет судить о поведении
оригинала
внутри интервалов.
Модифицированное Z-преобразование.
Если значение Z-изображений необходимо знать не только в дискретные моменты времени t = nT, но и в любые другие моменты времени, смещенные на по отношению к моментам квантования, то можно использовать модифицированное Z-преобразование
(1.10)
где – действительный независимый параметр, принимающий произвольное значение от нуля до единицы.
Модифицированное Z-изображение решетчатой функции либо определяется из формулы (1.10), либо следует использовать таблицы для модифицированного Z-преобразования.
Обратное Z-преобразование
позволяет определить решетчатую
функцию-оригинал
или
по ее Z-преобразованию и сокращенно
записывается в виде
или
. (1.11)
При заданной существует три способа нахождения решетчатой функции: в виде бесконечного ряда, разложением на элементарные дроби и при помощи интеграла обратного преобразования.
Первый метод позволяет
непосредственно получить числовую
последовательность
.
Если
представляет собой рациональную
функцию, т.е. отношение двух многочленов,
то, разделив многочлен числителя на
многочлен знаменателя, получим бесконечный
ряд Лорана. Числовые значения коэффициентов
членов ряда определяют дискреты
решетчатой функции
.
Указанный способ позволяет определять
сколь угодно большое число значений n.
При выполнении операции деления
многочлены числителя и знаменателя
следует записывать по возрастающим
степеням (
).
Пример 1.
Дано:
Определить: .
Решение:
Путем непосредственного деления получим
Отсюда
;
Второй метод основан на разложении
функции
на элементарные дроби и использовании
таблицы преобразования. Непосредственно
функция
на элементарные дроби не раскладывается,
так как фигурирующие в таблице функции
от z имеют в числителе множитель z.
Пример 2.
Дано:
Определить: .
Решение: разложим на элементарные дроби
Из таблицы соответствия получим
Третий метод нахождения решетчатой функции основан на интеграле обратного преобразования
или
В этом случае интегрирование ведется
по окружности
,
где с – абсцисса абсолютной
сходимости. Окружность, по которой
ведется интегрирование, охватывает все
особые точки подынтегрального выражения.
Формулы обратного преобразования мало
применяются.
Использование аппарата Z-преобразования позволило развить теорию линейных дискретных АСУ, до некоторой степени аналогичную теории линейных систем непрерывного действия.
Рассмотрим модель импульсной АСУ (рис. 1.19).
В
этой модели
– изображение сигнала
в смысле дискретного преобразования
Лапласа. Таким образом, передаточная
функция импульсной АСУ Ф(р)
является дискретно-непрерывной функцией
р.
Рис. 1.19. Модель импульсной САУ
В непрерывных АСУ используют преобразование Лапласа вида
(1.12)
где
– непрерывная функция (оригинал),
– изображение.