1.3.2. Критерии Найквиста и Михайлова

Для дискретных систем, также как и для непрерывных, применим критерий Найквиста. Различие в построении АФЧХ разомкнутой системы обусловлено переменной и диапазоном ее изменения для каждого типа модели (табл. 1.3).

АФЧХ K(j) и K(j_w) совпадают (рис. 1.44).

Таблица 1.3

Передаточная функция разомкнутой системы	Переменная	Диапазон изменения переменной
K(s)	s = j	0  j  j
K(z)	z = e^j^^T	0  T  
K(w)	w = j_w	0  j_w  j

K (e^j^^T) имеет такой же вид, но заканчивается не в начале координат, а на вещественной оси, так как конечная точка соответствует частоте , при которой коэффициент усиления разомкнутой системы не равен нулю (рис. 1.45). Дискретная система устойчива, если K(j_w) или K(e^j^^T) не охватывает точку –1; j0. Запасы устойчивости находятся так же, как и в случае непрерывной системы: по модулю 1/а, по фазе – .

Рис. 1.44. АФЧХ K(j) и K(j_w) Рис. 1.45. АФЧХ K(e^j^^T)

Для определения устойчивости ИАCУ можно применять также аналог критерия Михайлова.

Представим вектор, соответствующий характеристическому уравнению замкнутой АCУ, в виде

При z = e^j^^T и Т = 1 вектор .

Для устойчивости АСУ необходимо и достаточно, чтобы при (при Т = 1, ) суммарный поворот векторов при i = 1, …, n был 2n.

Это будет выполняться, когда корни лежат внутри круга единичного радиуса (рис. 1.46, а). Корень, например z₁, лежащий вне круга, дает  = 0 при повороте вектора на угол 2 (рис. 1.46, б), и условие у стойчивости не выполняется.

Рис. 1.46. Изменение угла поворота вектора :

а – для корня внутри круга (_i = 2 ), б – для корня вне круга (₁ = 0)

1.3.3. Показатели качества импульсных систем

Основными показателями качества импульсных систем являются время регулирования, перерегулирование, число колебаний, статическая ошибка. Эти показатели определяют по импульсной переходной функции h[nT], являющейся реакцией на единичную дискретную ступенчатую функцию g[nT] = 1[nT].

Передаточная функция замкнутой системы

. (1.58)

Изображение выходной величины

. (1.59)

. (1.60)

Изображение дискретной переходной функции

. (1.61)

Теперь по изображению H(z) надо найти оригинал h[nT], то есть осуществить обратное z-преобразование.

Для этого используют метод разложения функции в степенной ряд по отрицательным степеням. Коэффициенты степенного ряда равны дискретным значениям импульсной переходной функции в моменты времени t = nT, n = 0, 1, 2, ….

Пример. Дана структурная схема импульсной АCУ (рис. 1.47).