7. Гиперболические функции

Определение 7.1. Функции и называются гиперболическим косинусом и гиперболическим синусом соответственно.

Гиперболический косинус и гиперболический синус обладают следующими свойствами:

1. При функции и принимают действительные значения, совпадающие соответственно и .

2. и .

3. и (или )

_{Доказательство.}

_{Действительно:}

,

.

4. Из свойства 3. следует, что .

5. и аналитические функции в (следует из определения и периодичности функции ):

6. и – периодические функции с периодом .

Покажем теперь, что и неограниченные функции. Определим их действительные, мнимые части и модули.

,

.

Отсюда следует:

,

.

Т.к. , то из последних соотношений заключаем, что

при ,

т. е. и – неограниченные функции.

8. Отображения, осуществляемые при помощи тригонометрических функций

Рассмотрим отображение .

Найдем прообразы точки при отображении , т. е. корни уравнения , где — произвольное комплексное число, отличное от . Заме­няя по формуле Эйлера и полагая для краткости , получим для определения уравнение

Умножая на , получим , откуда . Т.к. , то каждое из них отлично от нуля. Обозначая одно из них через , а другое через , получаем два уравнения для определения :

Каждое из этих уравнений имеет бесконечное множе­ство решений, выражаемых по формуле:

;

;

Получили два бесконечных множества точек, расположен­ных на паре прямых , параллельных действительной оси. На каждой из них соседние точки , соответственно , отстоят друг от друга на расстоянии . При этом для каждой точки , лежащей на прямой , имеется на другой прямой точка , симметричная с относительно начала координат.

При корни и уравнения становятся равными . Тогда обе прямые совмещаются с действительной осью и оба множества точек и также совмещаются.

Итак, уравнение во всех случаях имеет решения и всегда множество решений является бесконечным. Отсюда следует, что функция отображает конечную плоскость на всю (конечную) плоскость , а также, что каждая точка имеет бесконеч­ное множество прообразов в плоскости . Отображение это являет­ся конформным во всех точках, в которых , т. е. при .

Найдем образы прямых, параллельных координатным осям, при отображении . Прямая , параллельная мнимой оси, отобразится во множество точек, задаваемых формулой:

При получаем . Т.к. для любых , то дважды описывает часть действительной оси при четном и при нечетном. При получаем , т.е. описывает однократно всю мнимую ось в направлении возрастания при четном и в направлении убывания при нечетном.

Пусть . Т.к. , то зададим функцию параметрически:

Отсюда:

Исключая параметр получим:

Т.к. , то

.

Получили уравнение гиперболы с полуосями и и с фокусами в точках . Из параметрического представления образа прямой вытекает, что сохраняет все время один и тот же знак, одинако­вый со знаком (т.к. ), а монотонно и непрерывно меняется от до (или обратно). Отсюда следует, что прямая совпа­дает только с одной из двух ветвей гиперболы, а именно с правой ветвью, если или с левой ветвью, если .

При отображении прямой (мнимой оси) её образом является , т.е. . Следовательно, прямая переходит в разрез вдоль действительной оси от точки до . Аналогично, прямая переходит в разрез вдоль действительной оси от точки до . Прямая же переходит в мнимую ось, т.к. её образом является .

Найдем образ прямой , параллель­ной действительной оси.

При прямая есть действительная ось, и её образ имеет вид , следовательно, описывает бесконечно много раз отрезок действительной оси, причем каждому отрезку прямой длины соответствует двукратный обход указанного отрезка. При перепишем в следующем виде:

Исключим параметр :

Получили уравнение эллипса с полуосями , и фоку­сами в точках . Из параметрического представления образа прямой вытекает, что , а принимает любые значения. Следовательно, точка бесконечное множество раз про­бегает эллипс в одном и том же направлении, причем каждый пробег соответствует перемещению точки по прямой на расстояние, равное .

Итак, отображение переводит ортогональную сетку прямых, параллельных координатным осям, в сетку эллипсов и гипер­бол с общими фокусами . Так как отображение является конформ­ным во всех точках плоскости , исключая точки вида (образами которых являются указанные фокусы), то сетка эллипсов и гипербол также должна быть ортогональной.

Из определения и следует, что отображения, осуществляемые с их помощью, являются композицией рассмотренных ранее отображений. Так, отображение есть композиция поворота на угол и отображений, осуществляемых показательной функцией и функцией Жуковского :

1. 

2. 

3. 

В качестве примера найдем образ полосы при отображении :

Т.к. вертикальная полоса шириной отображается на всю плоскость с разрезами по интервалам и действительной оси, то областями однолистности функции являются вертикальные полосы, ширина которых равна .

Отображение может быть представлено в виде: , а значит и в виде: . И, следовательно, является композицией следующих отображений:

1. 

2. 

3. 

4. .

Областями однолистности функции являются также вертикальные полосы, ширина которых равна .