6. Тригонометрические функции

По формуле Эйлера . При сложении и вычитании соответственно получим:

Если , то функции , определены для любых и являются аналитическими, следовательно, они целые. При они принимают действительные значения, совпадающие соответственно с и . Поэтому по определению первую обозначают через , а вторую – .

Определение 6.1. Функции и называют основными тригонометрическими функциями – косинусом и синусом .

Эти формулы тоже называются формулами Эйлера. Если вторую умножить на и сложить с первой, то получим:

–

еще одна формула Эйлера.

Тригонометрические функции и обладают следующими свойствами:

1. Из определения следует, что , , следовательно, – чётная функция, – нечётная функция.

2. и – периодические функции с периодом 2.

Доказательство.

_{Рассмотрим , .} Т. к. – основной период , то:

,

Покажем, что – основной период и . Пусть – период . Следовательно, . Если то .

Следовательно, (по определению ). Отсюда,

,

.

Тогда, поскольку из того, что следует, что , то:

.

Значит . Если , то и значит:

Следовательно, (чётное число). Значит, . Следовательно, основной период функции .

Для функции доказательство проводится аналогично.

3. Для функций и справедливы основные формулы тригонометрии:

_{Доказательство.}

Заменяя на , получим:

Следовательно,

Заменяя здесь , на , и учитывая свойство 1, получим

.

Складывая и вычитая две последних формулы, получим:

.

Эти формулы являются основными в теории тригонометрических функций.

Из них следуют «формулы приведения». Положим , . Тогда:

,

.

Аналогично положим , . Тогда:

,

.

Полагая в 1-й из формул , , получим:

.

4. Функции и не являются ограниченными функциями. Позже будет доказано, что . Т.е. из формулы не следует, что , так как и не являются действительными неотрицательными числами.

5. при , при .

_{Доказательство.}

Пусть . По определению: . Это равносильно , а, следовательно, . Пусть , тогда:

.

По свойству 1 показательной функции получаем:

Отсюда . Следовательно, . Для функции доказательство проводится аналогично.

6. Функции и являются аналитическими в .

,

.

Определение 6.2. Функции называются тангенсом и котангенсом соответственно.

Функции и обладают следующими свойствами:

1. Областью определения функций и являются:

.

2. При функции и принимают действительные значения, совпадающие соответственно и .

3. Функции и являются нечетными функциями, т.е. , .

4. Функции и – периодические с периодом .

5. Функции и непрерывны в своих областях определения.

6. Функции и – аналитические в своих областях определения:

,

.

7. Нули совпадают с нулями , нули – с нулями .

8. Функции и принимают любые значения из , кроме и .

_{Доказательство.}

_{По определению :}

.

Следовательно, выполняя преобразования, получим:

. (6.1)

Если , то выражение (6.1) примет вид , что равносильно . У этого уравнения нет решений. Если , то выражение (6.1) примет вид: 0=2 – не имеет смысла. Т. е. .

Пусть , тогда:

.

Следовательно, существует точка такая, что . Т.к. , то, значит, существует точка такая, что .