3. Показательная функция

Определение 3.1. Показательной функцией комплексного переменного называется функция, обозначаемая и определяемая формулой .

Показательная функция обладает следующими свойствами:

1. Если , то , т.е. на действительной оси показательная функция комплексного переменного совпадает с показательной функцией действительного переменного.

2. 

Доказательство.

_Пусть . Тогда получим:

.

С другой стороны,

.

Следовательно, .

Аналогичное свойство имеет место для функции действительного переменного: .

Назовём комплексное число показателем функции . Следовательно, при перемножении двух значений показательной функции показатели можно складывать. В связи с этим можно вместе с обозначением использовать обозначение :

.

3. Из свойства 2. следует . С другой стороны . Следовательно,

.

4. для любых .

Доказательство.

Рассмотрим :

Это выполняется для любых . Т.к. , то для любых .

Из этого доказательства также следует, что:

.

5. – периодическая функция с основным периодом , т.е. .

Доказательство.

Применим к свойство 2:

.

Покажем что _– основной период функции , т.е. любой другой период имеет вид , где . Действительно, пусть _– период . Тогда для любых . Значит и при это равенство выполнено. Для получим:

.

Отсюда:

Следовательно , что и требовалось доказать.

6. Если так, что , то .

Если так, что , то .

(свойство 6 следует из того, что ).

Выражение лишено смысла. Отсюда, в частности, следует, что не совпадает ни с одним многочленом .

Определение 3.2. Целые функции, отличные от многочленов, называются трансцендентными целыми функциями.

Следовательно, – трансцендентная целая функция.

7. Показательная функция является аналитической на комплексной плоскости _, .

Доказательство.

Выделим действительную и мнимую части:

,

_{Продифференцируем:}

_{Получили, что на комплексной плоскости , следовательно, – аналитическая функция на , а также:}

Рассмотрим отображение .

Согласно свойству 4 значение не принимается ни при каком значении . Следовательно, начало координат плоскости не принадлежит к образу конечной плоскости .

Покажем, что все значения , за исключение нуля, принадлежат к образу плоскости . Так как

то:

Получили, что прообразом точки могут быть только точки . Их бесконечно много, т.к. имеет бесконечное множество значений, и каждая из этих точек есть прообраз точки :

.

Итак, множество корней уравнения имеет вид

где .

Следовательно, функция отображает конечную плоскость на плоскость , из которой исключена точка , причём отображение не взаимно-однозначно. Доопределить в точке нельзя, т.к. не существует . Так как для любого значения , то задает конформное отображение плоскости на .

Найдем образы прямых, параллельных осям и .

Прямая , параллельная , переходит в _– окружность с центром в точке , радиусом . Если изменяется от до , то окружность описывается бесконечно много раз в положительном направлении.

П рямая , параллельная , переходит в - луч, выходящий из точки и образующий с положительной частью действительной оси . Если изменяется от до , то луч пробегает один раз от начала координат до .

Следовательно, при отображении совокупность прямых, параллельных мнимой оси, переходит в совокупность окружностей с центром в начале координат, а совокупность прямых, параллельных действительной оси, – в совокупность лучей, выходящих из начала координат.

Итак, при отображении декартова сетка координат на плоскости переходит в полярную сетку координат на плоскости .

Функция полосу шириной , параллельную действительной оси, отображает на угол раствора с вершиной в начале координат.

Поэтому к показательной функции прибегают каждый раз, когда нужно конформно отобразить некоторую прямолинейную полосу на внутренность угла.

Если прямая плоскости не является параллельной какой-либо оси координат, то образ ее в плоскости будет уже не прямой и не окружностью, а логарифмической спиралью. В самом деле, если эта прямая есть

( — угловой коэффициент прямой, a — ордината в начале), то образом будет кривая

Здесь или, исключая параметр : . Обозначая через , получаем:

где

Это и есть уравнение логарифмической спирали. Т.к. она является образом прямой , пересекающей прямые, параллельные действительной оси под постоянным углом , то, в силу конформности отображения, следует что и логарифмическая спираль пересекает под тем же углом образы указанных прямых, т. е. все лучи, выходящие из начала координат. Это характеристическое свойство лога­рифмической спирали.

_{Найдем области однолистности функции} . Выберем произвольно такие, что . Пусть . Разделим обе части на . Получим:

Следовательно:

Получили, что , или . Тогда областью однолистности функции будут полоса шириной не больше , параллельная действительной оси.

_{Разобьем плоскость} на области однолистности: . Если, например, , то .