§2. Элементарные многозначные и многолистные функции

1. Многочлен

Определение 1.1. Целой называется однозначная, аналитическая во всей конечной комплексной плоскости функция. Частным случаем является многочлен:

.

Если , то . Если и , то . Пусть - произвольное число. Тогда уравнение имеет корней, среди которых могут быть равные (кратные корни). Следовательно, у любой точки при отображении существует прообразов . Прообразами точки , служат корни уравнения , т. е. точка .

Итак, многочлен степени отображает расширенную комплексную плоскость на себя так, что каждая конечная точка образа имеет прообразов .

Отображение является конформным во всех точках, за исключением точек , в которых , а также, за исключением, быть может, точки .

Если , то - целая линейная функция – взаимно однозначное и конформное отображение на себя.

2. Степенная функция и радикал

Определение 2.1. Степенной называется функция вида .

Если , то . Следовательно,

а значит, функция является многолистной функцией.

Степенная функция является аналитической в комплексной плоскости , а т.к. при любом , то отображение, осуществляемое этой функцией, является конформным в каждой точке за исключением нуля.

Функция обладает основными свойствами функции действительного переменного, а именно:

.

Т.к. многолистная функция, то необходимо найти области однолистности. Возьмем произвольные точки и такие, что , . Следовательно, , т.е.:

Получили, что

, .

Следовательно, областью однолистности функции будет любой угол с вершиной в начале координат и раствором :

Если , то

.

Рассмотрим, в частности, отображение вида . Оно является конформным во всех точках, за исключением точек и . Углы с вершинами в этих точках увеличиваются при отображении в n раз. Заметим, что

,

Следовательно, каждая окружность радиуса с центром в точке отображается на окружность радиуса с центром в точке . Если при этом точка пробегает окружность один раз в положительном направлении (т. е. , непре­рывно возрастая, увеличивается на ), то точка пробегает окруж­ность в том же направлении раз (т. е. , непре­рывно возрастая, увеличивается на ). Если точка пробегает прямолинейный луч от точки до , то соответствую­щая точка будет пробегать при этом прямолинейный луч от начала координат до бесконечности.

Итак, функция отображает взаимно однозначно и конформно внутренность любого угла с прямолинейными сторонами, вершиной в точке и раствором , , на внутрен­ность соответствующего угла также с прямолинейными сторонами, вершиной в начале координат и раствором .

К рассматриваемой функции прибегают каждый раз, когда нужно отобразить один угол с прямолинейными сторонами на другой угол, в несколько раз больший.

При отображении не любая прямая преобразуется в пря­мую, окружность — в окружность. Пусть, например, . Функция примет вид . Отобразим прямую, параллельную мнимой оси , . В качестве образа получим линию , или, полагая и отделяя действитель­ные и мнимые части:

Исклю­чая параметр , получим:

.

Это уравнение параболы с осью, направленной по действитель­ной оси в отрицательную сторону, с фокусом в начале координат и с параметром .

Аналогично, отобразим прямую, параллельную действительной оси , . В качестве образа получим линию , или, полагая и отделяя действитель­ные и мнимые части:

Исклю­чая параметр , получим:

.

Т.е. получили, что каж­дая прямая, параллельная действительной оси , пре­образуется в параболу с осью, направленной по действительной оси в положительную сторону, с фокусом в начале координат и с параметром .

Итак, два семейства прямых, параллельных координатным осям, отображаются посредством функции в два семейства пара­бол с общим фокусом в начале и с осями на действительной оси. Из того, что семейства прямых были взаимно ортогональ­ны, а отображение конформное, вытекает, что и полученные семей­ства парабол взаимно ортогональны.

Рассмотрим радикал - функцию обратную к функции . Пусть , т.е. , тогда

Следовательно,

Получили, что для любых и радикал имеет различных значений, которые выражаются следующей формулой:

Следовательно, функция является многозначной ( –значной). Эти n значений располагаются в вершинах правильного n – угольника, вписанного в окружность . При значениях и получаем по одному значению функции и .

_{Чтобы выделить однозначную ветвь, достаточно указать, в какой о}бласти однолистности изменяется . Выше было установлено, что областью однолистности функции является угол с вершиной в начале координат и раствором :

Любой луч плоскости при отображении переходит в луч плоскости : . Если луч пробегает область против хода часовой стрелки, то луч пробежит всю плоскость от до . Следовательно, любая из областей однолистности перейдет в одну и ту же область плоскости : угол раствора , границей которой служит луч .

Т аким образом, в области получаем однозначных ветвей функции _{. Каждая из них определяется условием, что ее значения} принадлежат области . Будем обозначать эти ветви .

Т.к. имеет отличную от нуля производную во всех точках , то обратные функции имеют отличные от нуля производные:

.

Зафиксируем какое-либо значение . Пусть точка описывает в плоскости некоторую кривую, содержащую внутри начало координат. После полного обхода изменится на (увеличится, если против хода часовой стрелки и уменьшится, если по ходу). Следовательно, значение в первом случае перейдет от к ( перейдет в ), а во втором – от к ( перейдет к ).

Таким образом, точка – точка разветвления для функции Т.к. полный поворот от одной ветви многозначной функции к другой на угол является в то же время и полным оборотом вокруг точки (то есть обход по окружности бесконечно большого радиуса с центром в начале координат), то – тоже точка разветвления.

Итак, многозначная функция имеет 2 точки разветвления: и .

Т.к. после -кратного обхода вокруг этих точек разветвления, происходит возвращение к исходной ветви, то точки и являются точками разветвления го порядка функции