4. Геометрический смысл модуля производной

Пусть – аналитическая в некоторой области и в некоторой точке этой области и . При отображении точка кривой переходит в точку , принадлежащую кривой . Любая точка , принадлежащая кривой , переходит в точку , принадлежащую кривой , .

Так как существует , то существует . Следовательно, . Зафиксируем достаточно малое число . Рассмотрим окружность или . Функция окружность отобразит на кривую . Она мало отличается от окружности , то есть отображение с точностью до бесконечно малого более высокого порядка, чем , растягивает окрестность точки в раз.

Определение 4.1. Число называется коэффициентом растяжения кривой в точке при отображении .

Коэффициент не зависит от вида кривой и равен . При происходит растяжение, а при сжатие.

Итак, модуль производной геометрически можно рассматривать как растяжение окрестности точки при отображении посредством функции .

Таким образом, если функция аналитическая в точке и , то все кривые, проходящие через точку , при отображении поворачиваются на один и тот же угол и получают одно и то же растяжение с коэффициентом .

5. Понятие о конформном отображении

Определение 5.1. Отображение называется конформным (т.е. сохраняющим форму) в точке , если оно сохраняет углы между кривыми и обладает свойством постоянства растяжения окрестности точки.

Если отображение является конформным во всех, без исключения, точках области , то его называют конформным отображением области .

Определение 5.2. Конформное отображение, при котором направление отсчета углов сохраняется, называется конформным отображением Ι рода.

Определение 5.3. Конформное отображение, при котором направление отсчета углов меняется на противоположное, называется конформным отображением ΙΙ рода.

Теорема 5.1. Всякое отображение, устанавливаемое посредством аналитической функции , является конформным во всех точках, где .

Всякое отображение, устанавливаемое с помощью функции, значения которой является сопряженными со значениями аналитической функции, является конформным отображением ΙΙ рода (т. е. , где – аналитическая функция).

Если функция является аналитической в точке и то отображение с помощью функции может и не быть конформным отображением в точке .

В теории конформных отображений решается 2 задачи:

1. нахождение образа данной линии или данной области при данном отображении (прямая задача);

2. нахождение функции, осуществляющей отображение заданной линии или области на другую заданную линию или область (обратная задача).

При решении этих задач применяется принцип соответствия границ.

Теорема 5.2. (принцип соответствия границ) Пусть и – односвязные области, ограниченные контурами и соответственно. Тогда если функция аналитична в области , непрерывна в и осуществляет взаимно однозначное отображение контура на контур с сохранением направления обхода контура, то она конформно отображает область на область .

В следующей части работы рассмотрим отображения, осуществляемые некоторыми многозначными и многолистными функциями комплексного переменного.