I. Теоретическая часть §1. Функции комплексного переменного, дифференцируемость и аналитичность. Конформные отображения.

1. Понятие функции комплексного переменного

Множество называется областью, если оно открыто и связно, то есть если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в этом множестве, и все его точки являются внутренними.

Определение 1.1 Комплексно-значной функцией действительной переменной называется функция , областью определения которой является некоторое подмножество пространства , а значениями – комплексные числа:

.

Многие свойства и определения, справедливые для действительных функций переносятся на комплексно-значные функции.

Относительно каждой комплексной функции действительной переменной , определенной и непрерывной на отрезке , говорят, что она определяет непрерывную кривую (линию) в плоскости . Значения функции называют при этом точками кривой, совокупность всех значений функции – множеством точек кривой (часто, для краткости, просто кривой). В частности, точки называют начальной и конечной точками кривой.

Определение 1.2. Если начальная и конечная точки кривой совпадают, то кривая называется замкнутой. Замкнутую кривую также называют замкнутым контуром.

Определение 1.3. Уравнением кривой в параметрической форме называется равенство , где переменная называется параметром.

Определение 1.4. Одна и та же точка , соответствующая различным значениям параметра, из которых, по крайней мере, одно отлично от его крайних значений, называется кратной точкой кривой.

Определение 1.5. Кривая, не имеющая кратных точек, называется простой или жордановой.

Определение 1.6. Кривая называется гладкой, если в каждой точке она имеет касательную, непрерывно меняющую свое положение от точки к точке.

Это означает, что функция имеет на отрезке непрерывную производную, отличную от нуля.

Определение 1.7. Кривая называется кусочно-гладкой, если она состоит из конечного числа гладких кривых.

Определение 1.8. Функцией комплексной переменной называется отображение некоторого подмножества комплексной плоскости во множество :

.

При этом множество называется областью определения функции. Обозначается , где – образ точки при отображении , – прообраз точки при отображении . Множество называется множеством значений функции .

Пусть . Положим , где принадлежат множеству . Значение зависит от . Следовательно, функции зависят от переменных и , то есть , – действительные функции двух действительных переменных. Таким образом, любой функции комплексной переменной соответствует пара действительных функций двух действительных переменных. Верно и обратное: любой паре действительных функций двух действительных переменных можно сопоставить функцию . Функция называется действительной частью, – мнимой частью функции

Пусть функция задана на области , - множество её значений. То есть каждой точке ставится в соответствие точка . Удобнее рассматривать две комплексные плоскости и , а функцию - как отображение из в . Часто считают, что плоскости и – одна и та же плоскость , тогда задаёт отображение из в себя.

Определение 1.9. Если каждому соответствует лишь одно значение , то функция называется однозначной .

Определение 1.10. Функция называется многозначной функцией на множестве , если некоторыми значениям соответствует более чем одно значение ( – -значная функция, – бесконечнозначная функция).

Пусть функция – аналитическая в области . Пусть – образ области при отображении , то есть .

Определение 1.11. Если для любых , принадлежащих области , таких что , выполнено (то есть в различных точках области функция принимает различные значения), то аналитическая функция называется однолистной в области .

Другими словами, однолистная функция взаимно однозначно отображает область на область .

При однолистном отображении прообраз любой точки из области состоит из единственного элемента, то есть : . Поэтому можно рассматривать как функцию от переменной , определенную на области . Она обозначается и называется обратной функцией.

Определение 1.12. Если в области существует, по крайней мере, одна пара точек , то функцию называют многолистной в области .

Если отображение является многолистным на области (например ), то в этом случае некоторым значениям соответствует более чем одна точка . Следовательно, обратное отображение не является однозначным, оно является многозначной функцией.

Определение 1.13. Однозначная на области функция называется ветвью многозначной функции , если значение в любой точке совпадает с одним из значений в этой точке.

Для определения однозначной ветви многозначной функции поступают следующим образом: область разбивают на области однолистности функции так, что никакие две из областей не имеют общих внутренних точек и так, чтобы каждая точка из области принадлежала одной из этих областей или границе некоторых из них. В каждой из этих областей однолистности определяют функцию, обратную к функции . Она и является однозначной ветвью многозначной функции .

Определение 1.14. Точка, обладающая тем свойством, что полный (однократный) обход вокруг нее в любой её окрестности по какой-либо замкнутой жордановой кривой заменяет одну непрерывно изменяющуюся ветвь многозначной функции другой ветвью этой функции, называется точкой разветвления функции.

Определение 1.15. Если после n-кратного обхода в одном и том же направлении происходит возврат к исходной ветви, то данная точка обладает порядком и называется алгебраической точкой разветвления.