9. Обратные тригонометрические функции

Рассмотрим обратную тригонометри­ческую функцию , которая определяется посредством уравнения . Заменяя через и полагая, для сокраще­ния, , получим:

откуда

.

Корнями этого уравнения являются числа . Так как оба корня квадратного уравнения отличны от нуля (их произведение равно 1), то уравнение имеет корни (относительно неизвестного ). При получаем:

Итак, многозначная функция выражается через логарифм и квадратный корень:

Ее точками разветвления являются, прежде всего, точки . В самом деле, при однократном обходе точкой какой-нибудь замкну­той жордановой кривой, заключающей внутри лишь одну из этих точек, одно из значений заменяется другим, отличающимся от первого знаком. При этом значение заменяется другим корнем, равным (так как произведение обоих корней равно 1). Следовательно, от значений переходим к значениям , отличным от исходных, если только . Но только при , а, следовательно, это возможно только при . Так как обходимые нами жордановы кривые не проходят через точки , то указанный случай не может встретиться. Следовательно, можно утверждать, что значения изменяются в результате отмеченных обходов. Итак, точки являются точками разветвления для .

Известно, что каждому однократному обходy точкой окружности с центром в начале координат соответствует в плоскости однократный обход точкой эллипса с фокусами и обратно.

Итак, однократному обходу точкой эллипса с фокусами соответствует изменение на и изменение на . Так как такой эллипс может принадлежать любой, наперед заданной, окрестности точки , то она является точкой разветвления для и притом бесконечного порядка.

Обход любого эллипса с фокусами в точках можно рассматривать также как обход вокруг точки . Но ни один из этих эллипсов не лежит целиком в окрестности , где .

Таким образом, точками разветвления для являются точки и никакие другие.

Рассмотрим функцию , обратную по отношению к функции . Выражая через и и, далее, через показательную функцию, получим:

Положим :

,

тогда

.

Из следует . Значит:

.

Итак, выражается через логарифм от дробно-линейной функции:

.

Функция имеет 2 точки разветвления: .

Глава II. Практическая часть

Для решения задач на построение отображений необходимо рассмотреть простейшие конформные отображения, осуществляемые элементарными функциями комплексного переменного.

1. Отображения, осуществляемые функцией :

А)

В)

Д)

Б)

Г)

Е)

Ж)

З)

И)

2. Отображения, осуществляемые функцией :

А)

Б)

3. Пример отображения, осуществляемого функцией :

4. Пример отображения, осуществляемого функцией :

5. Пример отображения, осуществляемого функцией :

Также довольно часто возникает необходимость использовать функцию вида , где – комплексные числа такие, что , которая называется дробно-линейной функцией. Одно из основных ее свойств – это круговое свойство, а именно: образом прямой или окружности при дробно-линейном отображении является прямая или окружность. При этом прямые и окружности, проходящие через точку , переходят в прямые, а не проходящие – в окружности. Также т.к. это отображение является конформным, то для него выполняется принцип соответствия обхода границ.

Далее рассмотрим некоторые примеры отображений с помощью многолистных и многозначных функций.

Пример 1.

Найти образ множества при отображении ветвью функции , удовлетворяющей условию .

Решение.

Выделим ветвь функции , удовлетворяющую условию . Пусть , тогда . При получаем , при – . Т.к. , то . Следовательно,

;

.

Т.о. получаем .

Граница множества состоит из линий:

1. ;

2. ;

3. .

Отобразим отрезок , . Т.к. , то , а значит: , . Уравнение дуги окружности , имеет вид , следовательно, , т.е. . При отображении отрезка , т.к. , примет вид , т.е. .

В соответствии с принципом соответствия обхода границ окончательно получаем, что множество отобразится на множество .

Пример 2.

Найти образ множества ветвью функции , удовлетворяющей условию .

Решение.

По определению . При , т.е.

,

а значит при , т.е. берется главное значение логарифма:

.

1. Отобразим границу . Уравнение образа примет вид , а т.к. , то запишем параметрически:

или .

2. Отобразим границу . Уравнение образа примет вид или

или .

3. Отобразим границу . При отображении получим или

или .

4. Отобразим границу . Уравнение образа: или

.

В соответствии с принципом обхода границ получаем, что образом данной области является прямоугольник

.

Пример 3.

Отобразить на верхнюю полуплоскость область .

Решение.

Найдем граничные угловые точки, являющиеся точками пересечения окружностей, заданных уравнениями и . Пусть , тогда , . Решая систему, составленную из этих уравнений, получим , , а значит, точками пересечения этих окружностей являются точки .

Построим дробно-линейное отображение, переводящее точку в нуль, точку – в бесконечность:

.

Учитывая, что

,

,

строим образ области _– угол . Далее осуществляем поворот на угол с помощью отображения . Получаем угол . Для того, чтобы полученный угол перешел в верхнюю полуплоскость, необходимо использовать отображение . Окончательно получаем:

.

Пример 4.

Отобразить на верхнюю полуплоскость область .

Решение.

Найдем граничные угловые точки, являющиеся точками пересечения окружностей, заданных уравнениями и . Пусть , тогда , . Составим систему:

Решая эту систему, получим: , а значит, .

Построим дробно-линейное отображение, переводящее точку в нуль, точку – в бесконечность:

.

Установим образы точек на плоскости . Получим:

.

.

Т.о. область отображается на внутренность угла, образованного положительной мнимой полуосью и биссектрисой второго координатного угла.

Функция или отображает указанное множество на внутренность угла, образованного положительной действительной полуосью и биссектрисой первого координатного угла в плоскости .

Для того, чтобы отобразить полученный угол на верхнюю полуплоскость, необходимо осуществить отображение . Т.о. окончательно получаем:

Пример 5.

Отобразить на верхнюю полуплоскость плоскость с разрезом по отрезку .

Решение.

Рассмотрим отображение . При этом отображении точка перейдет в точку , перейдет в , а – в . Отсюда следует, что отображает плоскость с разрезом по отрезку на плоскость с разрезом по отрицательной действительной полуоси.

Отображение отобразит полученную плоскость на правую полуплоскость, а с помощью отображения или правая полуплоскость перейдет в верхнюю полуплоскость.

Окончательно получаем:

Пример 6.

Отобразить на верхнюю полуплоскость плоскость с разрезом по расположенному в первом квадранте лучу, выходящему из точки параллельно прямой .

Решение.

Функция отображает указанную плоскость на плоскость с разрезом вдоль биссектрисы первого координатного угла, с вершиной разреза в начале координат, т.е. в точке . Функция отображает плоскость на плоскость с разрезом вдоль положительной действительной полуоси. Для отображения полученной плоскости на верхнюю полуплоскость необходимо использовать отображение . Т. о. искомое отображение имеет вид:

.

Пример 7.

Отобразить на верхнюю полуплоскость полосу, ограниченную прямыми и .

Решение.

Пусть – ширина полосы. Тогда, . Искомое отображение получаем посредством композиций следующих отображений:

1. – поворот на угол ;

2. – подобие с коэффициентом подобия ;

3. – отображение полосы шириной на верхнюю полуплоскость.

_{Окончательно получаем: .}

Пример 8.

Отобразить на верхнюю полуплоскость область, ограниченную окружностями , , т.е. плоскость с выброшенными кругами.

Решение.

Рассмотрим отображение . Т.к. окружность проходит через точку , то она перейдет в прямую.

Следовательно, окружность перейдет в мнимую ось: Окружность также проходит через точку , следовательно, она также перейдет в прямую.

Значит, окружность перейдет в прямую По трем парам точек и по принципу соответствия обхода границ получаем, что плоскость, ограниченная окружностями , , переходит в полосу, ограниченную мнимой осью и параллельной ей прямой, проходящей через точку .

Отображение отобразит данную полосу на полосу, с шириной равной . С помощью отображения повернем полученную область на угол . Искомое отображение получается посредством отображения . Т.о. окончательно получаем: .

Пример 9.

Отобразить на верхнюю полуплоскость полосу с разрезом вдоль отрезка .

Решение.

Функция отображает полосу на полосу с разрезом вдоль отрезка . Функция отображает полосу на всю плоскость с разрезами по лучам . Действительно, .

Следовательно, действительная ось перейдет в разрез по лучу (т.к. , а значит ), прямая перейдет в разрез по лучу (т.к. , а значит ). Разрез по отрезку перейдет в разрез .

Функция отображает полученную плоскость на плоскость с разрезом по лучу . Действительно, луч перейдет в , а луч – в луч (т.к. , ).

А функция отображает данную плоскость на верхнюю полуплоскость. Т.о. получаем:

Пример 10.

Доказать, что функция отображает полосу на первый квадрант - плоскости.

Решение.

Пусть , . Действительная ось (т.е. ) при данном отображении переходит в положительную часть действительной оси: . Сторона полосы переходит в положительную часть мнимой оси: . Используя правило обхода границ, получаем первый квадрант - плоскости.

Пример 11.

Отобразить плоскость с разрезом вдоль положительной действительной полуоси на полосу .

Решение.

Функция отображает данную плоскость на полосу , а функция осуществляет искомое отображение. Т.о. окончательно получаем:

.