Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«БРЯНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ АКАДЕМИКА И.Г.ПЕТРОВСКОГО»

(БГУ)

Физико-математический факультет

Кафедра математического анализа

Выпускная квалификационная работа

на тему:

«Многолистные и многозначные функции комплексного переменного»

Выполнила:

Никифорова Т.А.

студентка 4 курса 2 группы

Научный руководитель:

Кипень И. С.

доцент

Брянск 2012

Оглавление

Введение 3

I. Теоретическая часть 5

§1. Функции комплексного переменного, дифференцируемость и аналитичность. Конформные отображения. 5

1. Понятие функции комплексного переменного 5

2.Дифференцирование функции одной комплексной переменной 9

3. Геометрический смысл аргумента производной 12

4. Геометрический смысл модуля производной 16

5. Понятие о конформном отображении 17

§2. Элементарные многозначные и многолистные функции 19

1. Многочлен 19

2. Степенная функция и радикал 20

3. Показательная функция 27

4. Логарифмическая функция 34

5. Общие степенная и показательная функции 38

6. Тригонометрические функции 42

7. Гиперболические функции 49

8. Отображения, осуществляемые при помощи тригонометрических функций 51

9. Обратные тригонометрические функции 56

Глава II. Практическая часть 60

Заключение 80

Список литературы 81

Введение

Исследованием конформных отображений занимались Л. Эйлер, Б. Риман, К. Гаусс, А. Пуанкаре, К. Каратеодори, Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин и другие.

Теория конформных отображений тесно связана с теорией аналитических функций комплексного переменного. Аналитическая функция, рассматриваемая как отображение, определяет (при некоторых условиях) конформное отображение области задания функции на область ее значений. Конформное отображение представляет геометрический образ функций комплексного переменного, подобно тому, как график функции вещественного переменного представляет ее геометрический "портрет". С конформными отображениями сталкиваются, прежде всего, как с графическими образами аналитических функций. Тем самым теория конформных отображений представляет существенный элемент математического образования.

С другой стороны конформные отображения имеют многочисленные приложения в механике, физике и технике, прежде всего – для расчетов плоских гармонических векторных полей в гидро- и аэродинамике, теории фильтрации, теории электрических и магнитных полей, теории теплопередачи. Конформные отображения представляют весьма удобный математический аппарат для решения довольно широкого круга задач математической физики и прикладной математики.

Высказанные соображения объясняют актуальность знаний о конформных отображениях.

Предметом исследования данной работы являются простейшие многолистные и многозначные функции.

Целью является изучение отображений, осуществляемых с помощью этих функций.

Дипломная работа состоит из двух частей: теоретической и практической. Теоретическая часть разбивается на два параграфа. В первом содержится информация о функциях комплексного переменного, дифференцируемости и аналитичности, дается представление о конформных отображениях. Во втором параграфе рассматриваются элементарные многозначные и многолистные функции комплексного переменного.

Во второй, практической, части работы решен ряд задач по теме исследования. Их можно разделить на два типа:

• нахождение образа данной области при отображении посредством заданной функции;

• нахождение функции, осуществляющей отображение заданной области на другую область.