Задача минимизации линейной формы
Сведение задачи минимизации к задаче максимизации. До сих пор мы рассматривали решение симплекс-методом задачи максимизации линейной формы
Z = p1x1 + … + pnxn (3.1.6)
при ограничениях
-ai1x1 ‑ … ‑ ainxn ‑ ai 0 ; (i=
). (3.1.7)
Во многих задачах требуется найти минимум формы (3.1.6) при ограничениях (3.1.7). Для этого достаточно положить
Z = – Z = -p1x1 ‑ … ‑ pnxn
и решить задачу максимизации полученной формы при ограничениях (3.1.7). Ясно, что min Z = – max Z.
Решение задачи минимизации непосредственно симплекс-методом. Задачу минимизации линейной формы (3.1.6) при ограничениях (3.1.7) можно решить и непосредственно симплекс-методом, не сводя ее путем изменения знаков коэффициентов формы (3.1.6) к задаче максимизации. Для этого достаточно в алгоритме симплекс-метода несколько видоизменить признак оптимальности и правило выбора разрешающего элемента.
Признаком оптимальности опорного решения, т.е. достижения на нем min Z, теперь будет отсутствие положительных элементов в Z-строке, и тогда min Z = Q.
Разрешающий элемент теперь следует брать в столбце над положительным коэффициентом Z-строки, а не над отрицательным, как в случае максимизации.
Варианты заданий *
Найти опорное решение основной задачи линейного программирования (знак одного из неравенств по указанию преподавателя следует заменить на противоположный):
1 |
Z = x1 - 8x2 + x3 + 4x4 max при ограничениях x1 – x2 + x3 + x4 2, x1 – x2 + x3 ‑ x4 2, -x1 – x2 + x3 + x4 2, x1 – x2 ‑ x3 + x4 2, xj 0, j= |
2 |
Z = -x1 - 3x2 + 5x3 + 4x4 min при ограничениях x1 – x2 + x3 + x4 2, x1 + x2 + x3 - x4 2, -x1 + x2 + x3 + x4 2, x1 + x2 - x3 + x4 2, xj 0, j= |
|
|
||
3 |
Z = 3x1 + x2 + x3 - x4 max при ограничениях -x1 + x2 + x3 + x4 2, x1 – x2 + x3 + x4 2, x1 + x2 - x3 + x4 2, x1 + x2 + x3 - x4 2, xj 0, j= |
4 |
Z = -x1 + x2 + x5 min при ограничениях -x1 + 3x3 – 2x4 + x5 3, x1 + 3x2 - x3 - x4 + x5 2, x1 – x2 + x4 + x5 3, xj 0, j= |
|
|
||
5 |
Z = -2x3 + x4 - x5 max при ограничениях -x1 + 3x3 – 2x4 + x5 3, x1 + 3x2 - x3 - x4 + x5 2, x1 – x2 + x4 + x5 3, xj 0, j= |
6 |
Z = x2 - 3x3 + 2x5 max при ограничениях -x1 + 3x3 – 2x4 + x5 3, x1 + 3x2 - x3 - x4 + x5 2, x1 – x2 + x4 + x5 3, xj 0, j= |
|
|
*) использование вариантов заданий из /5/ согласовано с автором.
Варианты заданий ЛР № 2. Продолжение
7 |
Z = x1 + 3x5 max при ограничениях 2x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + x5 4, 2x1 + x2 + 3x4 + 2x5 4, 3x1 + x3 + 2x4 + 5x5 9, xj 0, j= |
8 |
Z = -x4 - 2x5 min при ограничениях 2x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + x5 4, 2x1 + x2 + 3x4 + 2x5 4, 3x1 + x3 + 2x4 + 5x5 9, xj 0, j= . |
|
|
||
9 |
Z = -x1 + 3x2 - 5x3 – x4 max при ограничениях 2x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + x5 4, 2x1 + x2 + 3x4 + 2x5 4, 3x1 + x3 + 2x4 + 5x5 9, xj 0, j= |
10 |
Z = x1 + 2x2 + x3 max при ограничениях 2x1 - x2 + 3x3 + 4x4 10, x1 + x2 + x3 – x4 5, x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 12, xj 0, j= |
|
|
||
11 |
Z = -2x1 - x2 + x3 + x4 min при ограничениях 2x1 - x2 + 3x3 + 4x4 10, x1 + x2 + x3 – x4 5, x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 12, xj 0, j= |
12 |
Z = -2x1 - x2 + x3 + x4 max при ограничениях 2x1 - x2 + 3x3 + 4x4 10, x1 + x2 + x3 – x4 5, x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 12, xj 0, j= |
|
|
||
13 |
Z= -x1+x2-x3-x4+x5+2x6 max при ограничениях x1+ x2+ x3 + x4 + x5 + 3x6 4, x1 - 4x2 + x4 + 10x5 – x6 5, x1+ 3x2+ 7x3+ x4+ 15x5– x6 2, xj 0, j= |
14 |
Z = -x1- 2x2+ x3+ x4- x6 min при ограничениях x1+ x2+ x3 + x4 + x5 + 3x6 4, x1 - 4x2 + x4 + 10x5 – x6 5, x1+ 3x2+ 7x3+ x4+ 15x5– x6 2, xj 0, j= |
|
|
Варианты заданий ЛР № 2. Продолжение
15 |
Z = x1 + x3+ x6 max при ограничениях x1+ x2+ x3 + x4 + x5 + 3x6 4, x1 – 4x2 + x4 + 10x5 – x6 5, x1+ 3x2+ 7x3+ x4+ 15x5– x6 2, xj 0, j= |
16 |
Z = x1 + 2x2 - x3 + x4 max при ограничениях x1 + x2 - x3 – 2x4 6, x1 + x2 + x3 – x4 5, 2x1 - x2 + 3x3 + 4x4 10, xj 0, j= |
|
|
||
17 |
Z = x1 - x3+ x4 min при ограничениях x1 + x2 - x3 - 2x4 6, x1 + x2 + x3 – x4 5, 2x1 - x2 + 3x3 + 4x4 10, xj 0, j= |
18 |
Z = 2x1 - 3x2 + 3x4 max при ограничениях x1 + x2 - x3 - 2x4 6, x1 + x2 + x3 – x4 5, 2x1 - x2 + 3x3 + 4x4 10, xj 0, j= |
|
|
||
19 |
Z =2x1+x2+x3+3x4+x5 max при ограничениях -x1 + 3x3 - 2x4 + x5 3, x1 - x2 + x4 + x5 3, x1 + 3x2 - x3 - x4 + x5 2, xj 0, j= |
20 |
Z = 3x1 - x3 + x5 min при ограничениях -x1 + 3x3 - 2x4 + x5 3, x1 - x2 + x4 + x5 3, x1 + 3x2 - x3 - x4 + x5 2, xj 0, j= |
|
|
||
21 |
Z = x1 – x2 - x5 max при ограничениях -x1 + 3x3 - 2x4 + x5 3, x1 - x2 + x4 + x5 3, x1 + 3x2 - x3 - x4 + x5 2, xj 0, j= |
22 |
Z=x1- 6x2- 2x3-3x4 +x5 max при ограничениях x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 + x5 9, -x1 + 2x2 – x3 + 2x4 + x5 6, x1 + 2x2 + 2x4 - x5 2, xj 0, j= |
|
|
Варианты заданий ЛР № 2. Продолжение
23 |
Z=-x1 - 2x2 - 2x3+x4 -x5 min при ограничениях x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 + x5 9, -x1 + 2x2 – x3 + 2x4 + x5 6, x1 + 2x2 + 2x4 - x5 2, xj 0, j= |
24 |
Z=x1 - 4x2 +5x3+9x4 -2x5 max при ограничениях x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 + x5 9, -x1 + 2x2 – x3 + 2x4 + x5 6, x1 + 2x2 + 2x4 - x5 2, xj 0, j= |
|
|
||
25 |
Z=x1 - 2x2 -x3-3x4 +x5 min при ограничениях -5x1 - x2 + 2x3 + x5 2, x1 + x3 + x4 + x5 5, 3x1 + x2 + 2x4 - x5 7, xj 0, j= |
26 |
Z = x2 –3x3 + 2x5 max при ограничениях -5x1 – x2 + 2x3 + x5 2, x1 + x3 + x4 + x5 5, 3x1 + x2 + 2x4 – x5 7, xj 0, j= |
|
|