
- •Лабораторная работа № 2 Тема: «Симплекс-метод решения задачи линейного программирования»
- •Содержание отчета
- •Теоретические сведения
- •Переход к таблице
- •Исключение свободных переменных
- •Нахождение опорного решения
- •Поиск оптимального решения (решение задачи максимизации)
- •Разные способы задания ограничений
- •Задача минимизации линейной формы
- •Варианты заданий *
Нахождение опорного решения
Если в таблице (2.1.3) все элементы столбца
свободных членов неотрицательны (
),
то точка таблицы (с координатами
)
является опорным решением, так как для
нее
,
и, следовательно, все
,
и система (2.1.2) удовлетворяется.
Если же в таблице (2.1.3) хотя бы один
свободный член отрицателен (например,
-
й, где
),
то
в точке таблицы и, следовательно, она
не является решением систем (2.1.5) и
(2.1.2).
Переход от текущей таблицы к следующей, содержащей меньшее (в общем случае – не большее) число отрицательных свободных членов, осуществляется посредством МЖИ с разрешающим элементом, выбор которого производится по следующему правилу:
1) Находим строку (первую попавшуюся)
с отрицательным элементом столбца
свободных членов (если таковой не
оказалось, то опорное решение уже
найдено, и следует переходить к поиску
оптимального решения). Пусть, например,
;
2) среди коэффициентов этой строки
находим первый попавшийся отрицательный
(если такового не оказалось, то система
ограничений ЛП-задачи противоречива).
Пусть, например,
,
т.е. s-й столбец -
разрешающий;
3) для выбора разрешающей строки находим
минимальное неотрицательное среди
отношений элементов столбца свободных
членов к соответствующим отличным от
нуля коэффициентам разрешающего столбца
(назовем его МНО). Пусть МНО достигается
при
,
т.е.
.
Тогда
-ю
строку берем в качестве разрешающей,
так что
- разрешающий элемент.
Примечание. Если часть свободных
членов равна нулю, то говорят, что имеет
место вырождение. При этом
МНО
.
Коэффициент
следует брать в качестве разрешающего
лишь при
,
в противном случае ищем новое МНО, не
учитывая
-ю
строку.
Если разрешающим оказался
,
то после шага МЖИ новый свободный член
станет
положительным.
Если же разрешающий элемент не попал в r-ю строку, то новый (свободный член в r-й строке после МЖИ) останется еще отрицательным, но уменьшится по модулю. В этом случае продолжаем работать с r-й строкой (делать МЖИ, выбирая разрешающий элемент по изложенному правилу), и либо станет неотрицательным, либо установим несовместность системы ограничений.
Точка таблицы с неотрицательным столбцом свободных членов и будет соответствовать опорному решению.
Поиск оптимального решения (решение задачи максимизации)
В зависимости от знаков коэффициентов Z-строки в таблице, полученной после отыскания опорного решения, возможны два случая.
1. Все коэффициенты Z-строки неотрицательны.
Если
,
то задача линейного программирования
решена, причем
и достигается в точке
.
Действительно, в этой точке имеем
,
т.е. удовлетворяются ограничения (2.1.2),
и так как в любой другой точке многогранника
все
неотрицательны, то
,
т.е.
- максимальное значение
.
2. Среди коэффициентов Z-строки есть отрицательные.
Пусть
.
В этом случае нельзя утверждать, что
значение
функции
в точке P0
с координатами
является максимальным. Чтобы осуществить
переход от точки P0
к соседней вершине многогранника
с большим (не меньшим) значением
,
необходимо произвести шаг МЖИ с
разрешающим элементом, выбранным по
следующему правилу:
1) Находим столбец (первый попавшийся) с отрицательным коэффициентом Z-строки (если таковых не окажется, то задача уже решена). Пусть, например, , т.е. s-й столбец ‑ разрешающий;
2) для выбора разрешающей строки находим МНО, используя процедуру выполнения п. 3 правила выбора разрешающего элемента при поиске опорного решения (при поиске оптимального решения, в отличие от поиска опорного, МНО может не существовать, если в s-м столбце не оказалось положительных элементов — это означает неограниченность сверху функции цели Z). Пусть МНО достигается при , т.е.
.
Тогда -ю строку берем в качестве разрешающей, так что ‑ разрешающий элемент.
Примечание. Если МНО , то коэффициент можно брать в качестве разрешающего лишь при , в противном случае ищем новое МНО, не учитывая -ю строку.
После шага МЖИ с разрешающим элементом
коэффициент
станет положительным (при этом возможно
появление новых отрицательных
коэффициентов в Z-строке).
Если все новые коэффициенты Z-строки неотрицательны, то задача решена.