Контрольні запитання

1. Теорія ігор у задачах дослідження операцій

2. Прямокутні ігри із сідловими точками.

3. Теорема 1.

4. Наслідок з теореми 1.

5. Теорема 2

6. Наслідок з теореми 2

7. Змішані стратегії

8. Лема про матриці

9. Основна теорема прямокутних ігор (Теорема фон Неймана)

10. Зведення ігрової задачі до задачі лінійного програмування

11. Співвідношення переваги

Рекомендована література: [3,4,5,6]

Тема 6.

Багатокритеріальна оптимізація

Розглянуті питання з теми:

Багатокритеріальна оптимізація.

Решение многокритериальной задачи с помощью теоретико-игрового подхода

2.1. Постановка задачи

Пусть имеется некоторый объект управления (ОУ), имеющий n входов и k выходов (рис. 2.1). Значения входных параметров составляют вектор X = {x_j}, . На каждое из входных значений наложено ограничение типа , а также наложены ограничения на комбинации входных значений в виде системы линейных неравенств (или равенств, преобразуемых в 0-строки):

. (2.1.1)

Пусть выходные сигналы z являются линейными комбинациями входных сигналов, а для достижения эффективности работы ОУ часть выходных параметров требуется максимизировать, а остальные – минимизировать, учитывая наложенные ограничения (2.1.1).

Таким образом, имеем вектор критериев оптимизации Z:

. (2.1.2)

Требуется найти такую комбинацию входных сигналов (такой вектор X₀), которая приводит к наиболее эффективной работе ОУ в смысле минимального суммарного неудовлетворения всем критериям –минимального суммарного уклонения всех выходов от желаемых экстремальных значений.

2.2 Общая схема решения

Основной принцип решения задачи многокритериальной оптимизации с помощью теоретико-игрового подхода состоит в поиске компромиссного вектора X₀ в следующем виде:

, (2.2.1)

где  – вектор, оптимальный для i-го критерия, _i – весовые коэффициенты.

Можно выделить следующую последовательность шагов решения задачи.

1. Решаем k задач линейного программирования (с помощью симплекс-метода), в которых имеется по одной функции цели и общая область ограничения. Таким образом, получаем k оптимальных векторов (для каждого критерия). Подробнее решение задач линейного программирования с помощью симплекс-метода рассмотрено в [2, 5].

Примечание. Если в системе ограничений имеются ораничения-равенства, то при решении задачи оптимизации с помощью симплекс-метода сначала требуется исключить все 0-строки.

2. Найдем меру неоптимальности каждого вектора X*_i для остальных целевых функций:

(2.2.2)

где C_j ‑ вектор коэффициентов j-го критерия, X^*_i – вектор, оптимальный для i-го критерия. Таким образом, q_ij – мера неоптимальности вектора для j-го критерия. Например, мера неоптимальности вектора для 2-го критерия

где ,

3. Сформируем квадратную матрицу, строки которой соответствуют k оптимальным векторам X*I , а столбцы ‑ k целевым функциям CjXext .

		C1X	…	CkX
	X*1	q11	…	q1k
	…	…	…	…	(2.2.3)
	X*k	qk1	…	qkk

Теперь сформулируем задачу в виде игровой. В качестве игрока P₁ выберем совокупность оптимальных векторов X*_i , а в качестве игрока P2 – совокупность критериев оптимальности Z_j . Тогда матрица (2.2.3) (с обратным знаком элементов) может рассматриваться как платежная матрица прямоугольной (матричной) игры двух партнеров X* и Z с нулевой суммой, которая определена множеством стратегий X*={X*₁, … ,X*_k} первого игрока и множеством стратегий Z={C₁X, … ,C_kX} второго игрока. Элементы платежной матрицы должны иметь отрицательные знаки, так как они имеют смысл меры неоптимальности вектора, оптимального для какого-то из критериев, полученной при его подстановке в другой критерий, т.е. в игровой постановке – проигрыш первого игрока.

Тогда задача формулируется следующим образом: необходимо найти смешанную стратегию первого игрока, она и будет представлять искомые весовые коэффициенты _i для компромиссного вектора X₀.

Рассмотрим далее решение игровой задачи путем сведения ее к паре взаимно-двойственных задач линейного программирования.