Контрольні запитання

1. Подвійність у лінійному програмуванні...

2. 1 теорема подвійності.

3. 2 теорема подвійності.

4. Економічна інтерпретація пари подвійних задач.

Рекомендована література: [1,3,8,9,10]

Тема 5.

Прямокутні ігри із сідловими точками

Розглянуті питання з теми:

Теорія ігор у задачах дослідження операцій. Прямокутні ігри із сідловими точками. Теорема 1. Наслідок з теореми 1. Теорема 2. Наслідок з теореми 2. Змішані стратегії. Лема про матриці. Основна теорема прямокутних ігор (Теорема фон Неймана). Зведення ігрової задачі до задачі лінійного програмування . Співвідношення переваги.

Лемма (о матрицах)

Пусть дана матрица , тогда:

1) либо существует элемент такой, что

;

2) либо существует элемент такой, что

.

Доказательство

В доказательстве будем использовать символ Кронекера:

Положим:

,

т.е. - точка пространства E^m, -я координата которой равна 1, а остальные - 0.

Положим также:

,

т.е. - точки пространства E^m, координаты которых - столбцы матрицы А.

Пусть D - выпуклая оболочка множества m+n точек

.

Пусть Z=(0,...,0) - начало координат E^m.

Разберем 2 случая: ZD, и ZD.

Если ZD, то Z - выпуклая линейная комбинация точек , т.е. существует элемент множества S_n+m такой, что

,

или .

Следовательно: .

Т.к. S_n+m, то и .

Заметим, что , т.к. иначе (=0) и , чего не может быть.

Поэтому положим:

.

Очевидно, что вектор yS_n и , т.е. условие (2) леммы выполняется.

Пусть ZD.

Тогда, очевидно, существует гиперплоскость проходящая через начало координат пространства E^m (содержащая точку Z), такая, что D находится в положительном полупространстве - для любой точки D справедливо неравенство

Тогда точки области D также удовлетворяют этому неравенству: . Т.е. .

Кроме того, это неравенство справедливо также и для точек

: , .

Положим:

.

Очевидно, что вектор xS_m и . Тогда и подавно , т.е. условие (1) леммы выполняется.

Основная теорема для прямоугольных игр (теорема фон Неймана)

Пусть - некоторая матрица, и пусть математическое ожидание выигрыша для любого и любого определено следующим образом: .

Тогда величины и существуют и равны между собой.

Доказательство

Для каждого функция есть непрерывная линейная функция от , определенная на замкнутом подмножестве S_m пространства E^m . Т.е. существует для любого .

В свою очередь, - непрерывная кусочно-линейная функция от . Т.е. существует.

Аналогично показывается существование .

Если первое условие леммы о матрицах выполняется, то существует элемент такой, что

, т.е. для любого

. (1)

Так как (1) справедливо для любого , то и, следовательно,

. (2)

Аналогично из второго условия леммы о матрицах

. (3)

Поскольку выполняется либо первое либо второе условие леммы, то по крайней мере одно из (2) и (3) выполняется и, следовательно, неравенство

(4)

не может быть справедливо.

Пусть А_к матрица, полученная вычитанием k из всех элементов А:

.

Пусть Е_к - математическое ожидание выигрыша для А_к, так что для любого и любого :

. (5)

Тогда точно так же, как мы показали , что (4) неверно для А, можно показать, что

(6)

неверно для А_к.

Из (5) легко увидеть:

. (7)

Из (6) и (7) очевидно, что

неверно, т.е.

- неверно.

А поскольку последнее неравенство неверно для любого k, то теперь можно записать:

- неверно.

Тогда справедливо: .

Но по Теореме 1: , т.е.

.

Другими словами, основная теорема теории матричных игр утверждает, что каждая матричная игра двух партнеров с нулевой суммой имеет решение, т.е. существуют оптимальные смешанные стратегии X* и Y* для обоих игроков, причем , так что для произвольных смешанных стратегий и :

E(X,Y*) E(X*,Y*) E(X*,Y).