Задача 8м, 8т (5 балів)
Обчислити невласний інтеграл
.
Відповідь:
.
Розв’язання.
Для всіх
маємо
Таким чином, одною з первісних для підінтегральної функції даного інтегралу є функція
.
Оскільки
,
,
то
.
Задача 9м, 9т (8 балів)
Розв’язати
задачу Коші:
,
при
.
Відповідь:
.
Розв’язання.
Очевидно, що розв’язки
і
даного диференціального
рівняння не задовольняють
початкову умову.
Нехай
и
.
Тоді, виконуючи
рівносильні перетворення даного
рівняння, послідовно матимемо:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
. (1)
Оскільки згідно з початковою
умовою
при
,
то
і рівняння (1) набуває вигляду:
(2)
Розв’язуючи рівняння (2)
відносно
і враховуючи, що
при
,
остаточно дістаємо:
.
Задача 10м, 10т (6 балів)
Студенти
і
відповідали на питання одного
і того ж тесту словами «так»
або «ні».
Студент А відповів на
питань, а студент
– на (
)
питання. Знайти
ймовірність того, що
студент
дав більше
правильних відповідей,
ніж студент
,
якщо студенти
вибирали
відповіді навмання
і на кожне питання тесту правильною є
тільки одна відповідь: «так» або «ні».
Відповідь:
.
Розв’язання.
Перший спосіб.
Введемо позначення подій:
={
студент
дав більше
правильних відповідей,
ніж студент
},
={
на перші
питань студент
дав більше
правильних відповідей,
ніж студент
},
={
на перші
питань студент
дав стільки
же правильних відповідей,
скільки й
студент
}.
Нехай
.
Оскільки ймовірність
того, що на перші
питань студент
дав більше
правильних відповідей,
ніж студент
,
також дорівнює
,
то
.
Згідно з формулою повної ймовірності
.
Очевидно, що
.
Тому
.
Другій спосіб.
Нехай студент
дав
правильних відповідей,
а студент
–
правильних відповідей.
Тоді шукана
ймовірність – це
ймовірність того, що
,
тобто
.
Нерівність
рівносильна
нерівності
,
яка в свою чергу рівносильна
нерівності
,
оскільки
–
цілі числа.
Тому
. (1)
Оскільки ймовірність
дати неправильну
відповідь на питання тесту
така ж сама,
як і
ймовірність дати
правильну відповідь
(і дорівнює
),
то ймовірність того, що
студент
дав більше
правильних відповідей,
ніж студент
,
дорівнює ймовірності
того, що студент
дав більше
неправильних відповідей,
ніж студент
,
тобто
. (2)
Оскільки події
і
є протилежними,
то з формул (1) і
(2) випливає, що
шукана ймовірність
.