Задача 4т (5 балів)

Розв’язати у комплексних числах систему рівнянь:

де – число, комплексно спряжене до числа .

Відповідь: ; .

Розв’язання.

Оскільки , то дана система рівнянь рівносильна системі:

Піднесемо обидві частини першого рівняння до п’ятого степеня, а обидві частини другого рівняння – до куба. Тоді з отриманих рівнянь випливає, що

.

Звідси або

. (1)

З рівняння (1) випливає, що , або . Тому (1) набуває вигляду , тобто .

Отже, якщо пара комплексних чисел є розв’язком даної системи, то .

Нехай . Тоді , і вихідна система рівнянь набуває вигляду:

.

Перше рівняння системи має три різних комплексних корені: . Тільки один з ціх коренів задовольняє друге рівняння. Тому рівняння системы мають єдиний спільний корінь .

Таким чином, дана система має два розв’язки: і .

Задача 5м, 5т (6 балів)

Довести нерівність де .

Доведення.

Запишемо дану нерівність у вигляді: , де

.

Оскільки функція і система нерівностей симетричні відносно , то дану нерівність достатньо довести для всіх , де (рис. 1).

Зробимо заміну змінних, покладаючи: .

Відносно нових змінних і вихідна нерівність може бути записана у вигляді

де ,

(рис.2).

Таким чином, достатньо довести, що функція в області є невід’ємною.

Якщо то . Зокрема, якщо , то і .

Нехай , де – довільне фіксоване дійсне число. Розглянемо функцію

, де .

Функція визначена, неперервна і диференційовна на проміжку , причому

.

Тому функція є спадною на проміжку , і оскільки , то .

Отже, доведено, що і функція , а це рівносильно доведенню вихідної нерівності.

Задача 6м, 6т (8 балів)

Нехай функція визначена на проміжку і задовольняє наступні умови:

1) , ;

2) існує неперервна похідна ;

3) .

Довести, що . Навести приклад, коли .

Відповідь: .

Розв’язання.

Розглянемо функцію . Функція визначена та неперервна на проміжку і задовольняє наступні умови:

, .

Тому, якщо покласти , , то функція буде неперервною на замкненому проміжку .

З умови задачі виплпває також, що функція має похідну на відкритому проміжку , яку можна обчислити за формулою:

.

Оскільки згідно з умовою задачі , то . А це означає, що функція є неспадною на замкненому проміжку . Звідси випливає, що , тобто , або , що й треба було довести.

Неважко перевірити, що функція задовольняє усі умови задачі при , причому .

Задача 7м, 7т (7 балів)

Судина, що має форму параболоїда обертання , вщерть заповнена водою. На який кут треба нахилити судину, щоб у судині залишилося рівно половина всієї води, що міститься в ній?

Відповідь: .

Розв’язання.

Розглянемо перетин параболоїда площиною, що проходить через точку паралельно осі і утворює з додатним напрямом осі гострий кут (рис. 1).

Тоді за вектор нормалі до площини, що перетинає параболоїд, можна взяти вектор , а рівняння цій площини матиме вигляд , або

, де . (1)

Лінія перетину параболоїда даною площиною визначається системою рівнянь:

Виключаючи з ціеї системи , дістаємо проекцію лінії пертину на площину :

,

або , де ( ).

Таким чином, проекцією лінії перетину параболоїда площиною (1) на площину є коло з центром в точці і радіусом (рис. 2).

Якщо параболоїд обертання (тобто дану судину) нахилити на кут (відносно вертикалі), то площина перетину збигатиметься з горизонтальною вільною поверхнею води, що міститься у судині, а об’єм води, який залишитеметься, дорівнюватиме об’єму тіла, яке обмежене площиною перетину та параболоїдом обертання.

Обчислимо цей об’єм . Нехай . Тоді

Відмітимо, що якщо покласти ( ), то ми отримаємо об’єм даної судини (об’єм тіла, обмежений поверхнею параболоїда і площиною ): .

Оскільки у судині має залишитися рівно половина води, що знаходиться в ній, то . Таким чином, для визначення кута нахилу судини дістаємо рівняння:

.

Оскільки , то .