6.3 Расчет контактных напряжений в очаге деформации при холодной прокатке тонких широких полос

а) Основные допущения

Для расчета контактных напряжений в очаге деформации при холодной прокатке тонких широких полос приняты следующие допущения, обоснованные в главах 2,5 и в п.п. 6.1, 6.2 данной главы¹:

1. Напряженное и деформированное состояния полосы являются плоскими: уширение отсутствует, при этом в каждом поперечном сечении с осевой координатой x (см. рис. 6.2а) контактные напряжения – нормальное p_x и касательное τ_x – постоянны по ширине, а сжимающее напряжение σ_x постоянно и по толщине, и по ширине.

б)

а)

Рис. 6.2 Расчетные схемы для определения контактных напряжений

в очаге деформации при холодной прокатке

а: схемы очага деформации и контактных напряжений (NN – нейтральное

сечение), б) графики изменения сопротивления деформации

(1 – с учетом упругих участков, 2 – без учета упругих участков).

2. Зона прилипания в очаге деформации при холодной прокатке отсутствует, поэтому на всей его протяженности действует закон трения скольжения:

τ_x=μ p_x, (6.9)

где μ – коэффициент трения в очаге деформации, усредненный по площади контакта полосы и валка.

3. Дуги контакта полосы и валков, в связи с тем, что угол захвата α ≤4…5^о, аппроксимированы прямыми отрезками AB и BC, при этом очаг деформации состоит из следующих участков (см. схему, рис. 6.2а):

- участок упругого сжатия полосы длиной x_1упр;

- пластический участок длиной x_пл;

- участок упругого восстановления части толщины полосы длиной x_2упр.

4. На пластическом участке очага деформации напряженно-деформированное состояние полосы соответствует условию пластичности (6.2), а на упругих участках – уравнениям упругости (6.7), (6.8).

5. При холодной прокатке возможны три варианта структурных схем очага деформации (см. главу 5, рис. 5.1): с одним нейтральным сечением, с двумя нейтральными сечениями и без нейтральных сечений. Поэтому обязательным элементом расчета контактных напряжений в очаге деформации i-той рабочей клети стана холодной прокатки должно быть определение структурного варианта очага деформации.

б) Модель сопротивления деформации

Согласно содержанию главы 2 (п.2.4), в качестве сопротивления деформация при холодной прокатке используют величину условного предела текучести, рассчитываемого по формуле А.В. Третьякова (2.22), причем в i-той рабочей клети n-клетевого стана график изменения условного предела текучести имеет вид, показанный на схеме “б” рисунка 6.2 в виде ломаной линии 1.

Перед входом в очаг деформации i-той клети полоса имеет условный предел текучести, согласно формуле (2.22), равный:

(6.10)

где ε_Σ(i-1) – суммарное обжатие от исходного (недеформированного) состояния за предыдущие (i-1) проходов (после (i-1)-й клети);

σ_0,2(i-1) – значение σ_0,2, полученное в результате наклепа за (i-1) проходов.

После выхода из очага деформации i-й клети значение σ_0,2 увеличилось и стало, согласно той же формуле (2.22), равным:

(6.11)

где ε_Σi – суммарное обжатие за i проходов (после i-й клети).

Однако на 1-м упругом участке, согласно закону Гука (см. формулу (6.7) и график рис. 6.2.б), сопротивление деформации линейно возрастает от нуля до значения σ_0,2(i-1), достигая этого значения только в сечении ММ, на границе с пластическим участком. В этом сечении упругая деформация достигла значения Δh_1упр. Это значение легко найти, применив формулу (6.6) к первому упругому участку:

(6.12)

где σ_ф.упр1 и ε_hx1 – сопротивление упругой деформации и относительная деформация сжатия материала полосы на первом упругом участке. Обе эти величины являются функциями координаты x или толщины полосы h_x.

В конце первого упругого участка, в сечении ММ σ_ф.упр1 = σ_0,2(i-1), Δh_x = Δh_1упр (см. рис. 6.2), поэтому из (6.12) получим:

(6.13)

Аналогично (6.12), на втором упругом участке сопротивление упругой деформации σ_ф.упр2 равно:

(6.14)

где ε_hx2 – упругая деформация восстановления части толщины полосы в сечении с координатой x и толщиной h_x.

Абсолютная величина полного упругого приращения толщины полосы на этом участке, по аналогии с выражением (6.13), равна:

(6.15)

Методики расчета контактных напряжений, изложенные в учебниках [1,2,3,6] и справочнике [4], исходили из того, что сопротивление деформации, равное σ_0,2(i-1), возникает в начале очага деформации, а величина σ_0,2i достигается не в конце пластического участка (сечение ВВ на рис. 6.2), а в конце очага деформации. Поэтому, согласно этим методикам, график изменения σ_0,2(h_x) по длине очага деформации выражается кривой 2, а не ломаной 1 на рис. 6.2,б. Если протяженность упругих участков относительно небольшая, погрешность энергосилового расчета от использования кривой 1, вместо ломаной 2, незначительна.

Но при холодной прокатке протяженность упругих участков может достигать 50-70% от общей длины очага деформации, поэтому использование в качестве графика сопротивления деформации кривой 2, вместо ломаной 1, приводит к погрешностям расчета контактных напряжений и усилий прокатки, достигающим 30-40% и более, что в технологических расчетах недопустимо.

Для расчета контактных напряжений в упругих и пластическом участках очага деформации используют среднее для каждого участка сопротивление деформации.

Согласно графику σ_ф на рис. 6.2,б, эти средние значения в i-й клети равны:

- на первом упругом участке:

(6.16)

- на втором упругом участке:

(6.17)

- на пластическом участке, где сопротивление деформации выражается формулой А.В. Третьякова (2.22):

(6.18)

Подставив под интеграл выражение σ_0,2(ε) по формуле (6.13) и проинтегрировав его, окончательно получим:

(6.19)

в) Модель коэффициента трения

Погрешности расчета контактных напряжений, силы и мощности холодной прокатки существенно зависят от достоверности принятых значений коэффициентов трения в очаге деформации.

Методы определения напряжений трения и коэффициентов трения в процессах прокатки рассмотрены в разделе 5 этого учебника.

Для определения величины коэффициентов трения при расчете контактных напряжений, сил и мощности в процессах холодной прокатки используют справочные данные и эмпирические зависимости, подчас противоречащие друг другу. Эти противоречия вызваны тем, что коэффициент трения при холодной прокатке зависит от значительного количества факторов технологии и свойств прокатываемой полосы, которые в полном объеме воспроизвести во время лабораторных экспериментов невозможно. А в промышленных экспериментах, чтобы выявить влияние каждого параметра, его необходимо варьировать в широком диапазоне, что в большинстве случаев также невозможно из-за ограничений, установленных технологическим регламентом.

Широкое применение в энергосиловых расчетах процессов холодной прокатки получила формула А.П. Грудева [7], модифицированная применительно к изменениям сортамента и технологии, происшедшим в последние десятилетия 20 века [25]:

,

где μ_i – коэффициент трения в очаге деформации i-ой клети многоклетьевого стана;

ε_i – частное относительное обжатие в i-ой клети, %;

R_a – среднеарифметическая высота микронеровностей поверхности бочки рабочих валков, мкм;

ν₅₀ – кинематическая вязкость смазки (или эмульсола, из которого приготовлена смазочно-охлаждающая жидкость (СОЖ)) при 50⁰С, сСт (мм²/с);

v_i – скорость прокатки в i-ой клети, м/с.

Достоинство формулы А.П. Грудева состоит в том, что она физически обоснованно учитывает влияние на коэффициент трения ряда существенных факторов технологии холодной прокатки: шероховатости поверхности бочки, характеризуемой величиной R_a, смазывающих свойств СОЖ, характеризуемых величиной ν₅₀, скорости прокатки v_i. Однако она имеет существенный недостаток, снижающий достоверность найденных с ее помощью значений коэффициента трения и увеличивающих погрешности энергосилового расчета.

Он состоит в том, что она не учитывает фактор, оказывающий большое влияние на величину коэффициента трения – предел текучести прокатываемой полосы σ_т, σ_0,2, возрастающий в процессе холодной прокатки в 2-3 раза из-за наклепа.

Поэтому для расчетов контактных напряжений в очагах деформации рабочих клетей станов холодной прокатки предпочтительнее использовать следующую регрессионную зависимость коэффициента трения от значимых факторов технологического процесса, предложенную в работе [28]:

6.20)

где σ_0,2i, p_срi средние значения условного предела текучести полосы и нормального контактного напряжения в очаге деформации i-ой рабочей клети, МПа;

R_ai – среднеарифметическая величина микронеровностей на поверхности бочки рабочих валков i-ой клети, мкм;

v_i – скорость полосы на выходе из валков i-ой рабочей клети, м/с.

В уравнении (6.20) переменные параметры, влияющие на коэффициент трения, представлены в безразмерной форме, для чего в знаменатели всех членов введены их минимальные значения: σ_0,2min = 200МПа, p_{ср min} = 400 МПа, R_{a min} = 0,6мкм, v_min = 1 м/с.

Кинематическая вязкость СОЖ при выводе формулы (6.20) была постоянной: ν₅₀ = 30 сСт, что соответствует применяемым на многих станах эмульсиям, изготавливаемым из эмульсолов новых поколений (КВЭКЕРОЛ, ГЕРОЛЮБ и др.) При указанном значении ν₅, входящий в формулу (6.20) коэффициент K_сож=1. При использовании СОЖ с другой вязкостью величину K_сож следует уточнять на стане путем адаптации формулы (6.20).

Расчет коэффициентов трения по уравнению (6.20) позволяет снизить погрешности расчетов усилия прокатки в среднем в 2 раза, до диапазона 5,4-8,5%, что для инженерных расчетов подобного класса считается весьма приемлемым результатом.

Достоверность формулы (6.20) повышается, если подставлять в нее значения шероховатости R_a с учетом износа поверхности бочки за время, прошедшее от момента установки в клеть отшлифованных или текстурированных валков до момента, для которого рассчитываются энергосиловые параметры. Изменение шероховатости вследствие износа предложено определять с помощью следующих регрессионных зависимостей:

- для шлифованных валков

R_a = R_{a исх} – 0,1141τ + 0,0064 τ²;

- для текстурированных валков:

R_a = R_{a исх} – 0,32τ + 0,18 τ²,

где R_{a исх} – исходное значение шероховатости,

τ – время, прошедшее с момента перевалки рабочих валков, час.

Эти выражения могут быть уточнены на каждом стане в процессе подготовки и эксплуатации валков, с учетом их материала, термообработки и износостойкости поверхностного слоя бочки, причем желательно, вместо времени работы валков, использовать длину (километраж) полос, прокатанных после перевалки.

Исходную величину R_a обеспечивают при подготовке поверхности бочки валков к установке в стан путем шлифовки или текстурирования, при этом необходимые значения R_a указывают в технологических нормативных документах стана, исходя из особенностей технологического процесса цеха и требований к качеству поверхности прокатываемых полос.

Если сведения о нормативных значениях шероховатости отсутствуют, можно задавать R_a, руководствуясь рекомендациями таблицы 6.1.

Таблица 6.1

Рекомендуемые значения шероховатости бочки рабочих валков R_a

по клетям непрерывного k-клетевого стана холодной прокатки

Номер клети	1	2,…,(k-1)	k
Вид обработки	шлифовка		текстурирование, насечка	шлифовка
Значение Raисх, мкм	1,8*)	0,6	2,8	0,6

^*) Примечание: при задании R_a для первой клети учитывается повышенная шероховатость горячекатаного подката.

В первой клети износ шероховатости валков можно не учитывать, т.к. коэффициент трения в ней зависит, главным образом, от шероховатости подката.

На рисунках 6.3, 6.4, 6.5, 6.6 показаны в графическом виде рассчитанные по уравнению (6.23) зависимости коэффициента трения от каждого фактора, влияющего на его величину. При построении этих графиков изменяли только один фактор, все остальные принимали неизменными.

Из графика рис. 6.3 видна существенная зависимость коэффициента трения от условного предела текучести прокатываемой полосы: при росте условного предела текучести от уровня 250-350 МПа, соответствующего его значениям в 1-й клети, до уровня 700-800 МПа, соответствующего упрочненному состоянию полосы в последней клети, коэффициент трения при шероховатости валков R_a = 0,6 мкм уменьшается в 4-6 раз: от 0,15-0,17 до 0,025-0,04. Очевидно, этот фактор является главной причиной высоких значений коэффициента трения в первых клетях непрерывных станов.

Увеличение шероховатости бочек рабочих валков вызывает рост коэффициента трения (рис. 6.4), однако градиент этого роста существенно зависит от

Рис.6.3. Зависимость коэффициента трения от условного предела текучести прокатываемой полосы (скорость прокатки v_i = 10 м/с; шероховатость поверхности бочек валков R_a = 0,6 мкм) при средних значениях контактных напряжений p_срi:

1 – 450 МПа; 2 – 750 МПа.

Рис. 6.4. Зависимость коэффициента трения от шероховатости поверхности валков (контактное напряжение p_срi = 750 МПа; предел текучести прокатываемой полосы σ_0,2i = 700 МПа) при скоростях прокатки v_i: 1 – 5 м/с; 2 – 10 м/с; 3 – 15 м/с.

Рис. 6.5. Зависимость коэффициента трения от скорости прокатки (контактное напряжение p_срi = 750 МПа; предел текучести прокатываемой полосы σ_0,2i = 600 МПа) при различной шероховатости поверхности валков R_a:

1 – 0,2 мкм; 2 – 1,0 мкм; 3 – 1,5 м/с; 4 – 2,5 м/с.

Рис. 6.6. Зависимость коэффициента трения от среднего удельного давления в очаге деформации (скорость прокатки v_i = 10 м/с; шероховатость поверхности валков R_a=0,6 мкм) при значениях условного предела текучести полосы:

1 – 400 МПа; 2 – 600 МПа; 3 – 800 МПа.

скорости прокатки. При скорости v_i=5 м/с, соответствующей скоростному режиму первых клетей, увеличение шероховатости в 5 раз (от R_a = 0,5 мкм до R_a = 2,5 мкм) приводит к росту коэффициента трения на 15-25%, а такое увеличение шероховатости при скорости v_i=15 м/с (кривая 3 на рис. 8.4), соответствующей скоростному режиму последних клетей, вызывает рост коэффициента трения почти в 2 раза.

Графические зависимости коэффициента трения от скорости прокатки, рассчитанные по уравнению (6.20), показаны на рис. 6.5. Из графиков видно, что с ростом скорости прокатки коэффициент трения увеличивается, особенно это увеличение значительно при максимальной шероховатости валков. Следует отметить, что при изменении скорости прокатки на коэффициент трения влияют две противоположно действующие тенденции. С одной стороны, рост скорости прокатки способствует увеличению количества СОЖ, поступающей в очаг деформации, что уменьшает коэффициент трения. С другой стороны, повышение скорости прокатки разогревает СОЖ, снижая ее кинематическую вязкость, что увеличивает коэффициент трения. Графики рис. 6.5 свидетельствуют о преобладании последней тенденции.

Влияние среднего значения контактного напряжения на коэффициент трения показано на графиках рис. 6.6. Зависимости μ_i от p_срi при постоянных значениях остальных факторов являются линейными: увеличение p_срi на 100 МПа вызывает рост коэффициента трения примерно на 0,005.

Поскольку при вычислении значений μ_i величины p_срi заранее неизвестны, первоначальное значение p_срi задают приближенно, например , а затем уточняют в цикле расчета усилия прокатки методом, изложенным в главе 8.

г) Система уравнений для получения расчетных формул контактных напряжений

Согласно исходным положениям, изложенным в п. 6.1, и допущениям, сформулированным в подпункте “a” п. 6.3, чтобы получить расчетные формулы контактных напряжений, зависящих от переменной толщины полосы (p_x(h_x), τ_x(h_x), σ_x(h_x)), для каждого участка очага деформации составляют систему из трех уравнений:

первое: дифференциальное уравнение равновесия элемента полосы (см. схему на рис. 6.2,а);

второе: уравнение, выражающее связь касательных напряжений с нормальными, по закону трения скольжения;

третье: уравнение пластичности (на пластических участках) или упругости (на упругих участках).

Так как на всей протяженности очага деформации при холодной прокатке действует закон трения скольжения, в качестве второго уравнения на всех участках (и упругих, и пластическом) может быть принято выражение:

τ_x=μ p_x. (6.21)

В качестве третьего уравнения на первом упругом участке очага деформации может быть принято выражение (6.7), которое применительно к i-й клети будет иметь вид:

(6.22)

В качестве главных нормальных напряжений σ₁, σ₃ по рекомендации А.И. Целикова [1;2] можно приближенно принять: σ₁ = - σ_x; σ₃ = - p_x.

Эта рекомендация является обоснованной, т.к. в теории напряжений сжимающие напряжения считаются отрицательными (что объясняет знаки “минус” при напряжениях σ_x и p_x), а максимальным из сжимающих главных напряжений считается не самое большое по модулю, а, наоборот, - самое маленькое, т.к. оно ближе остальных к оси растягивающих напряжений.

Прокатка тонких широких полос происходит, как правило, с натяжением; возникающие из-за натяжений растягивающие напряжения в полосе уменьшают величину сжимающих напряжений σ_x, по сравнению с сжимающими напряжениями σ_z, направленными поперек движения полосы.

Поэтому вполне логично принять, что σ₁= -σ_x; σ₂ = -σ_z, а самое большое по величине из сжимающих напряжений, которое и обеспечивает пластическую деформацию, играет роль минимального главного нормального напряжения: σ₃ = - p_x.

Подставив указанные значения σ₁ и σ₃ в уравнение (6.22), для первого упругого участка окончательно получим:

(6.23)

(в выражение (.23), подставляются модули (абсолютные величины) p_x и σ_x).

Аналогичное третье уравнение системы для расчета контактных напряжений на втором упругом участке будет иметь вид:

(6.24)

На пластическом участке очага деформации в качестве третьего уравнения используется условие пластичности (6.2), которое для i-й клети непрерывного стана принимает вид:

(6.25)

где σ_ф2i – среднее значение условного предела текучести полосы на пластическом участке, определяемое по формуле (6.19).

Чтобы составить первое уравнение системы, необходимой для расчета контактных напряжений – дифференциальное уравнение равновесия полосы - на каждом участке очага деформации, согласно схеме рис. 6.2,а на расстоянии “x” от начала координат выделяют элемент abdc, имеющий размеры: длину по оси прокатки dx, высоту в сечении bd: h_x, высоту в сечении ac: h_x+dh_x. Углы наклона дуг “ab” и “bc” на первом упругом и пластическом участках равны α/2, на втором упругом участке равны β.

Уравнение равновесия элемента abdc принимают в виде:

ΣX_j = 0, (6.26)

где X_j – проекции сил, действующих, по наружным граням на выделенный элемент. Эти силы вызваны напряжениями на площадках контакта с валками ab, cd и в вертикальных сечениях bd, ac.

Чтобы перейти от напряжений к проекциям сил, надо определить площади всех этих граней, умножить каждое напряжение на площадь соответствующей грани, получив величину силы, а затем вычислить ее проекцию на ось прокатки “x”.

Результаты этих операций показаны в таблице 6.2. Необходимо обратить внимание на знаки проекций сил, вызванных касательными напряжениями τ_x: в зоне отставания они отрицательные, т.к. τ_x направлены противоположно положительному направлению оси “x” (см. схему на рис. 6.2,а), а в зоне опережения – положительные.

Кроме того, проекции нормальных контактных напряжений p_x на втором упругом участке отрицательные, а на всех предыдущих участках – положительные. Это объясняется разным направлением углов α/2 и β, характеризующих контур очага деформации.

Таким образом, из трех уравнений системы, составляемой для получения расчетных формул контактных напряжений, только второе выражение (6.21) – одинаковое для всех участков очага деформации.

Из этого следует, что расчетные формулы p_x(h_x), τ_x(h_x), σ_x(h_x) необходимо получать отдельно для каждого участка очага деформации.

Таблица 6.2

Определение проекций на ось “x” сил, действующих на элемент abdc (рис.6.2)

Грань элемен-та abdc	Участок очага деформации	Площадь грани		Напря-жение		Сила		Проекция силы на ось “x” 3)
ab; cd	первый упругий; зона отставания пластического участка		1)
	зона опережения пластического участка
	второй упругий, зона опережения
	второй упругий, зона отставания2)
bd	все участки, кроме второго упругого
	второй упругий
ac	все участки, кроме второго упругого
	второй упругий

Примечания: 1) b – ширина полосы.

2) для очагов без нейтральных сечений и с двумя нейтральными сечениями.

3) положительное направление оси x противоположно направлению движения полосы.

д) Решение системы уравнений – получение расчетных формул p_x(h_x), τ_x(h_x), σ_x(h_x)

Вывод формул p_x(h_x), τ_x(h_x), σ_x(h_x) продемонстрируем на примере решения этой задачи для первого упругого участка очага деформации.

Подставив в уравнение равновесия (6.26) из таблицы 6.2 выражения проекций сил, действующих на гранях ab, cd, bd, ac (рис. 6.2), относящиеся к первому упругому участку, получим:

+2 p_x dx tg(α/2) - 2 τ_x dx + σ_x h_x - (σ_x+dσ_x)(h_x+dh_x) = 0. (6.27)

Входящий во все члены уравнения (6.27) множитель “b” (ширина полосы) сокращен, т.е. от ширины полосы контактные напряжения при холодной прокатке тонких полос не зависят.

Чтобы упростить уравнение (6.27), выразим отрезок dx через приращение толщины dh_x. Для этого рассмотрим в увеличенном масштабе верхнюю часть элемента abdc (см. рис. 6.7).

Из рис. 6.7 получим:

(6.28)

Рис. 6.7. Верхняя часть элемента abdc на рис. 6.2. в

увеличенном масштабе

Подставив это выражение dx в уравнение (6.27) и выполнив несложные преобразования, получим:

(6.29)

Вывод расчетных формул контактных напряжений в очаге деформации с одним нейтральным сечением

В дифференциальном уравнении равновесия (6.29) содержатся 3 неизвестных: p_x, σ_x, τ_x.

Для дальнейшего преобразования его к виду, пригодному для решения, используем остальные два уравнения: уравнение упругости (6.23) и уравнение, связывающее напряжения τ_x и p_x по закону трения скольжения.

Из уравнения упругости (6.23) выразим σ_x через p_x:

(6.30)

Откуда: (6.31)

Подставив τ_x из формулы (6.21), σ_x и dσ_x из формул (6.30), (6.31) в уравнение (6.29) и введя обозначение:

(6.32)

окончательно получим дифференциальное уравнение, выражающее зависимость напряжения p_x от толщины h_x:

(6.33)

Это уравнение представляет собой линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка стандартного вида:

, (6.34)

связывающее независимую переменную x(x=h_x) и зависящую от нее функцию y(y = p_x).

В теории дифференциальных уравнений известен метод решения уравнений типа (6.34) (путем подстановки y=u·v, где u и v – вспомогательные функции). Применив этот метод, получим общее решение уравнения (6.33):

(6.35)

где δ_i-1 – коэффициент, определяемый по формуле (6.32), пропорциональный коэффициенту трения μ;

C_1упр – постоянная интегрирования, которая определяется из граничных условий на входе в очаг деформации: при h_x=h_i-1, σ_x=- σ_i-1 (удельное натяжение полосы на входе в i-ю клеть). Подстановка этих значений h_x и σ_x в уравнение упругости (6.23) дает значение p_x на входе в очаг деформации: p_x=- σ_i-1.

Подставив эти граничные условия в общее решение (6.35), нашли постоянную интегрирования С_1упр, в результате получили окончательное выражение p_x(h_x) на первом упругом участке очага деформации:

(6.36)

где

Аналогичный алгоритм используют при выводе формулы p_x(h_x) для остальных участков очага деформации, соблюдая такую последовательность: 1-й упругий участок – зона отставания пластического участка – 2-й упругий участок (если он полностью находится в зоне опережения, т.е. второе нейтральное сечение отсутствует) – зона опережения пластического участка.

Эта последовательность позволяет находить постоянные интегрирования для общих решений дифференциальных уравнений p_x(h_x): получив решение p_x(h_x) для первого упругого участка (выражение (6.36)), подставляют в него значения толщины полосы на границе с зоной отставания: h_x=h_1упр (см. рис. 6.2,а).

Полученное значение p_x(h_1упр) используют в качестве граничного условия в общем решении уравнения p_x(h_x) для зоны отставания пластического участка, находя соответствующую постоянную интегрирования. Затем решают дифференциальное уравнение p_x(h_x) для второго упругого участка, используя в качестве граничных условий толщину полосы на выходе из очага деформации h_x=h_i и переднее натяжение полосы: σ_x(h_i)=- σ_i.

Получив таким образом окончательное выражение p_x(h_x) для второго упругого участка, подставляют в него значение p_x(h_x=h_min) на границе с зоной опережения пластического участка, использовав полученное значение в качестве граничного условия в общем решении дифференциального уравнения p_x(h_x) для зоны опережения пластического участка.

Необходимые для описанного решения значения толщины полосы на границах упругих участков, согласно формулам (6.13) и (6.15), равны (см. рис. 6.2,а):

(6.37)

(6.38)

Окончательные формулы p_x(h_x) для всех участков очага деформации с одним нейтральным сечением приведены в таблице 6.3.

Вычислив по этим формулам p_x(h_x), легко определить и остальные контактные напряжения: касательные τ_x по формуле (6.21); сжимающие σ_x – с помощью формул (6.23), (6.24) или (6.25).

Детальный анализ формул таблицы 6.3 изложен ниже, в п. 6.4 этой главы.

Предварительный их анализ позволяет сделать следующие выводы.

1. На упругих участках очага деформации контактные напряжения пропорциональны модулю упругости материала полосы Е_п и не зависит от предела текучести.

2. На пластических участках контактные напряжения пропорциональны пределу текучести полосы σ_ф2i и, кроме того, находятся в сложной зависимости от отношения Е_п/σ_ф2i, через которое на напряжения в пластической области проявляется влияние напряженного состояния упругих участков.

Таблица 6.3

Формулы p_x(h_x) для очага деформации с одним нейтральным сечением

Участок	Формула px(hx)	Формулы коэффициентов
Первый упругий
Второй упругий
Пластичес-кий – зона отставания
Пластичес-кий – зона опережения

3. Значительное влияние на контактные напряжения оказывает коэффициент трения в очаге деформации μ_i (он входит в формулы p_x(h_x) в связанном виде - через коэффициенты

Зависимость p_x(h_x) от μ_i может быть выявлена путем расчетов по формулам таблицы 6.3. Предварительный анализ дает основание утверждать, что эта зависимость носит сложный, нелинейный характер, но решающее влияние на величину p_x(h_x) оказывают члены , в формулах p_x(h_x) пластического участка, которые при увеличении μ_i вызывают существенный рост контактных напряжений.

4. Увеличение заднего и переднего удельных натяжений σ_i-1 и σ_i (они входят в формулы p_x(h_x) пластического участка непосредственно, а на упругих участках – через коэффициенты C_i-1 и C_i) вызывает снижение контактных напряжений.

e) Расчет структурных составляющих очага деформации с одним нейтральным сечением

Для дальнейшего расчета необходимо определить толщину полосы в нейтральном сечении указанного варианта очага деформации. С этой целью приравнивают правые части выражений p_{x отст} и p_{x опер}, приведенных в табл. 6.3, подставив в них значение h_x= h_н (т.к. в нейтральном сечении p_{x отст}(h_x= h_н)=p_{x опер}(h_x= h_н)).

В результате этой операции получают алгебраическое уравнение с одной неизвестной величиной h_н. Его решение дает следующую расчетную формулу толщины полосы в нейтральном сечении:

(6.39)

где

Полученная формула h_н довольно громоздка, она не предназначена для запоминания и ручного расчета (без использования компьютера). Ее основное преимущество в более точном определении величины h_н, чем все другие известные формулы. Учитывая большое значение положения нейтрального сечения в очаге деформации для расчета эффективных технологических режимов прокатки, очень важно как можно точнее определить толщину h_н, а затем – длины всех участков очага деформации.

Используя схему рис. 6.2,а, эти длины следует определять, начиная с величины x_2упр – длины участка упругого восстановления части толщины полосы (второго упругого участка).

В литературе по теории прокатки [1;2;4;6] для расчета длины второго упругого участка очага деформации использована известная в теории упругости формула Герца, определяющая полуширину площадки контакта неподвижного цилиндра с плоскостью, ограничивающей упругое полупространство.

Физические условия контакта вращающихся валков с полосой имеют существенные отличия от условий контакта неподвижного цилиндра с плоскостью: полоса по своим упругим свойствам не адекватна упругому полупространству: ее жесткость зависит от предшествующего наклепа (упрочнения) и толщины, при вращении валка имеет место трение скольжения в контакте с прокатываемой полосой, причем величина коэффициента трения оказывает влияние на длину упругого контакта.

Поэтому для расчета длины x_2упр, рекомендуется, сохранив в качестве основы формулу Герца, ввести в нее поправочный коэффициент K_попрi [25]:

(6.40)

где p_ср – среднее значение нормального контактного напряжения p_x в очаге деформации (среднее удельное давление);

- радиус бочки рабочего валка;

ν_В, ν_П, E_В, E_П – упругие константы материалов валков и полосы (их коэф-

фициенты Пуассона и модули упругости).

Для расчета поправочного коэффициента можно использовать регрессионную зависимость его от факторов, не учтенных в формуле Герца: коэффициента трения μ_i (i - номер рабочей клети), наклепа полосы от исходного состояния Δσ_0,2i (приращения предела текучести) и ее толщины h_i [25]:

а) если ≤ 5200 МПа·мм,

K_попрi = 0,718 – 0,00008Δσ_0,2i + 0,821h_i – 146,6μ_i², (6.41)

б) если > 5200 МПа·мм,

K_попрi=1, т.е. формула Герца дает достоверный результат без поправочного коэффициента.

Чтобы рассчитать x_2упр по формуле (6.40), нужно знать величину p_срi, заранее не известную. Поэтому в качестве первого приближения принимают:

, (6.42)

а в дальнейшем величины p_срi и x_2упр уточняют в циклах расчета контактных напряжений методом последовательных приближений (итераций).

После определения x_2упр вычисляют длины остальных участков очага деформации, указанных на схеме рис. 6.2,а:

- общая длина первого упругого и пластического участков:

(6.43)

где Δh_i=h_i-1-h_i – абсолютное обжатие в i-й рабочей клети;

- длина первого упругого участка:

(6.44)

где Δh_1упр и Δh_2упр – изменения толщины полосы на первом и втором упругих участках, вычисляемые по формулам (6.13) и (6.15);

- длина пластического участка:

(6.45)

- длина зоны опережения пластического участка:

(6.46)

- длина зоны отставания пластического участка:

(6.47)

- общая длина очага деформации i-ой рабочей клети:

(6.48)

Вывод формул (6.43), (6.44) и (6.45) здесь не приводится, чтобы не перегружать материал главы 6, одной из наиболее сложных и объемных в учебнике. Рекомендуем изучающим теорию прокатки вывести эти формулы самостоятельно. Для этого надо рассмотреть отношения между сторонами подобных треугольников ABE и ABF, BCE и BCD, вписанных в окружность бочки валка (см. рис. 6.8) (из выражения, стоящего под знаком квадратного корня, в формуле (6.43), исключены члены, величины которых на 2-3 порядка меньше, чем RΔh и ).

Для последующих расчетов требуется также знать минимальную толщину полосы в очаге деформации, находящуюся в плоскости AFDB. Согласно схеме рис. 6.2,a, она равна:

(6.49)

(величину Δh_2упр вычисляют по формуле (6.15)).

Кроме того, к структурным параметрам низкого очага деформации относятся углы наклона контактных поверхностей AB и BC к оси прокатки.

Согласно схеме рис. 6.8, угол наклона поверхности AB к оси прокатки равен α/2 (α – угол захвата). Его тангенс равен:

(6.50)

(Δh_2упр – см. формулу (6.15), x₁ - см. формулы (6.43), (6.40), (6.41)).

Тангенс угла β наклона поверхности BC к оси прокатки равен:

(6.51)

ж) Расчет контактных напряжений в очаге деформации, не имеющем нейтральных сечений

Обоснование возможности появления в процессе холодной прокатке очага деформации, в котором отсутствует нейтральное сечение, изложено в параграфе 5.1 главы 5. На рис. 5.1 этого параграфа показаны три возможных графика изменения скорости полосы v_x по длине очага деформации. Если скорость v_x изменяется по графику 3, она все время остается меньше окружной скорости бочки валков, т.е. весь очаг деформации в этом случае представляет собой зону отставания, а нейтральное сечение в нем отсутствует.

Методика расчета контактных напряжений в таком очаге деформации имеет некоторые отличия от методики, изложенной в п. “е” для очага с одним нейтральным сечением.

Рис. 6.8 Расчетная схема для определения структурных параметров очага деформации при прокатке тонкой широкой полосы

Следует заметить, что, приступая к энергосиловому расчету процесса прокатки, исполнитель расчета имеет в качестве исходных данных параметры режима прокатки (обжатия, скорости, натяжения) и заранее не знает, какой структурный тип очага деформации имеет место в той или иной рабочей клети.

Поэтому расчет контактных напряжений начинают с предположения, что в очаге деформации имеется нейтральное сечение, и выполняют его по методике, изложенной в п. “е”.

Рассчитав по формулам таблицы 6.3 напряжения p_x(h_x) во всех четырех участках очага деформации, а затем – по формуле (6.39) – толщину полосы в нейтральном сечении, приступают к процедуре идентификации структурного типа очага деформации.

Для этого сравнивают величину h_н, рассчитанную по формуле (6.39), с толщиной h_min, рассчитанной по формуле (6.49).

Если оказалось, что h_н>h_min, это означает, что в очаге деформации есть, по крайней мере, одно нейтральное сечение, т.к. точка пересечения кривых p_x(h_x) для зон отставания и опережения пластического участка очага деформации находится в пределах границ этого участка.

Если оказалось, что h_н<h_min, это означает, что точка пересечения указанных кривых p_x(h_x) находится за пределами очага деформации, т.к. в очаге деформации нет ни одного сечения, в котором h_x<h_min.

Таким образом, условие, позволяющее установить, что очаг деформации не имеет нейтрального сечения (всю его длину занимает зона отставания), имеет вид:

(6.52)

В очаге деформации без нейтральных сечений формула p_x(h_x) для первого упругого участка, приведенная в табл. 6.3, остается без изменений: p_x(h_x)=p_x(1упр).

Формула p_x(h_x) для зоны отставания пластического участка, приведенная в табл. 6.3, распространяется в таком очаге деформации на всю длину пластического участка:

Изменяется лишь формула p_x(h_x) для второго упругого участка очага деформации, т.к. направление касательных напряжений τ_x на этом участке изменилось на противоположное, и, следовательно, изменилось дифференциальное уравнение равновесия элемента полосы, находящегося на втором упругом участке (см. рис. 6.9).

Определение проекций на ось “x” сил, действующих на элемент abdc, находящийся на втором упругом участке очага деформации без нейтрального сечения, было приведено ранее в таблице 6.2.

Уравнение равновесия элемента полосы в этом случае имеет вид:

Упростив его, получим:

Рис. 6.9 Схема напряжений, действующих на полосу на втором упругом участке, если он находится в зоне отставания.

Последовательность дальнейших преобразований и решения этого уравнения аналогична описанной выше, в п. “д” данной главы (изучающим теорию прокатки рекомендуется проделать все преобразования самостоятельно).

Окончательная расчетная формула p_x(h_x) для второго упругого участка, расположенного в зоне отставания, имеет вид:

(6.53)

где

Из формулы (6.53) видно, что закономерности, установленные для очага деформации с одним нейтральным сечением, имеют место и в очаге деформации без нейтральных сечений: напряжения p_x(h_x) на втором упругом участке пропорциональны модулю упругости материала полосы, находятся в сложной зависимости от коэффициента трения и уменьшаются с ростом переднего натяжения.

з) Расчет контактных напряжений в очаге деформации с двумя нейтральными сечениями

Возможность появления такого структурного варианта очага деформации при холодной прокатке обоснована в п. 5.1 главы 5. Если скорость полосы v_x изменяется по длине очага по графику 2 (рис. 5.1), то первое нейтральное сечение N₁N₁ толщиной h_н1 возникает вблизи сечения, где толщина полосы h_x=h_min. В этом случае на втором упругом участке BC скорость полосы v_x, уменьшаясь из-за роста ее толщины h_x, вновь может оказаться меньше окружной скорости бочки валков v_в. Точка N₂ пересечения графиков v_x и v_в определяет положение второго нейтрального сечения N₂N₂, имеющего толщину h_н2.

В результате второй упругий участок BC оказывается разделенным на две зоны: зону опережения BN₂, являющуюся продолжением зоны опережения N₁B пластического участка, и дополнительную зону отставания N₂C, примыкающую к выходному сечению полосы CC.

Структурная схема такого очага деформации в i-й рабочей клети n-клетевого стана и график изменения по длине очага скорости полосы показаны на рис. 6.10.

Рис. 6.10 Схема очага деформации с двумя нейтральными сечениями и график изменения скорости полосы по его длине.

Чтобы установить в процессе энергосилового расчета n-клетевого стана, имеется ли в очаге деформации i-ой рабочей клети два нейтральных сечения, следует сравнить между собой три значения толщины полосы:

- толщину в нейтральном сечении h_н, рассчитанную по формуле (6.39);

- минимальную толщину h_min, рассчитанную по формуле (6.49);

- заданную толщину на выходе из валков h_i.

Если оказалось, что h_н< h_min,то в очаге деформации нет ни одного нейтрального сечения (см. п. “ж” данной главы).

Если оказалось, что h_н > h_min, то в очаге деформации есть, по крайней мере, одно нейтральное сечение. В этом случае сравнивают между собой толщины h_н и h_i.

Если оказалось, что h_н > h_i, то данное нейтральное сечение является в очаге деформации единственным, т.к. оно достаточно далеко расположено от сечения с толщиной h_min, и скорость полосы v_x, уменьшаясь на втором упругом участке, остается больше, чем окружная скорость бочки валков.

Расчет контактных напряжений в таком очаге изложен в п. “е” данной главы.

Если же оказалось справедливым неравенство:

, (6.54)

то в очаге деформации есть второе нейтральное сечение. Смысл этого неравенства состоит в том, что первое нейтральное сечение N₁N₁ находится весьма близко к сечению с минимальной толщиной полосы, поэтому, согласно схеме на рис. 6.10:

В результате скорость полосы v_x на участке N₁B длиной x_{пл.опер.} увеличивается до значения v_max незначительно и, снижаясь на участке BC, становится в конце этого участка меньше скорости бочки валка: v_i<v_в, т.е. на длине этого участка обязательно будет сечение N₂N₂, в котором v_x<v_в.

Таким образом, неравенство (6.54) является идентификационным признаком очага деформации с двумя нейтральными сечениями. В работе [25], показано, что с погрешностью менее 1% справедливо равенство:

, (6.55)

т.е. формулу (6.39) можно использовать для расчета толщины полосы не только в первом, но и во втором нейтральных сечениях.

Следует отметить, что очаги деформации с двумя нейтральными сечениями на практике встречаются не очень часто. Например, в работе [25] приводятся следующие данные. На 5-тиклетевом стане “1700” , оснащенном автоматизированной системой управления технологическим процессом (АСУТП), были проанализированы параметры 131 режима холодной прокатки, охватывающие весь диапазон толщин, ширин и марок сталей. В результате анализа выявлено 17 режимов (13% от общего числа), в которых имеются очаги деформации с двумя нейтральными сечениями, из них 15 очагов в 5-й клети и 2 в 4-й клети. При этом учет 2-го нейтрального сечения позволил уменьшить среднюю погрешность энергосилового расчета с 5,4% до 3,0% (в 1,8 раза), а максимальную погрешность – с 89% до 14% (в 6,5 раз).

После того, как установлено, что очаг деформации i-й рабочей клети содержит 2 нейтральных сечения, можно перейти к расчету контактных напряжений p_x(h_x) в каждом из пяти его участков, показанных на схеме рис. 6.10.

При этом частично можно воспользоваться формулами p_x(h_x), полученными ранее для очагов двух других структурных типов. Так, на первом упругом участке и в зоне отставания пластического участка напряженное состояние полосы такое же, как в очаге деформации с одним нейтральным сечением, поэтому для расчета контактных напряжений на этих участках пригодны формулы p_x(упр) и p_x(отст) таблицы 6.3.

На пятом участке очага деформации с двумя нейтральными сечениями, где находится вторая зона отставания длиной x_{2упр.отст} (рис. 6.10) напряженное состояние полосы такое же, как на втором упругом участке очага деформации без нейтральных сечений. Поэтому для расчета на этом участке контактных напряжений p_x(h_x)= p_{x(2упр.отст)} пригодна формула (6.53).

Формулы p_x(h_x)_(опер) и p_x(h_x)_{(2упр.опер)}, для расчета контактных напряжений в зонах опережения пластического и второго упругого участков ранее отсутствовали. Вывод этих формул производится по той же методике, что и для очагов деформации двух других структурных типов: на каждом участке решают систему трёх уравнений: уравнения (6.21), связывающего напряжения τ_x и p_x через закон трения; уравнения пластичности (6.25) – для зоны опережения пластического участка, или уравнения упругости (6.24) – для зоны опережения второго упругого участка, и дифференциального уравнения равновесия полосы.

Мы рекомендуем изучающим теорию прокатки для более глубокого понимания материала вывести эти формулы самостоятельно, используя методику, изложенную выше, в п.п. “д”,“е”,“ж”. Окончательные выражения p_x(h_x) имеют вид:

- в зоне опережения пластического участка (на участке N₁B, рис. 6.10):

; (6.56)

где - значение напряжения p_x(h_x) в зоне отставания пластического участка, вычисленное по формуле таблицы 6.3. при толщине полосы (на границе зон отставания и опережения пластического участка).

- в зоне опережения второго упругого участка (на участке BN₂, рис. 6.10):

; (6.57)

где - значение напряжения p_x(h_x) в зоне отставания второго упругого участка, вычисленное по формуле (6.53) при толщине полосы (на границе зон опережения и отставания этого участка);

.

Для полной характеристики очага деформации с двумя нейтральными сечениями в таблице 6.4 приведены расчетные формулы его структурных параметров, которые не требовались для расчета очагов других типов. В частности, из-за разделения второго упругого участка на две зоны необходимо вычислить длину каждой из них. Кроме того, из-за изменения формулы p_x(h_x) для зоны опережения пластического участка изменяется её длина, а, следовательно, и длина зоны отставания пластического участка. Формулы расчета остальных структурных параметров – общие для очагов деформации всех типов (см. п. “е” данного параграфа).

Таблица 6.4

Формулы для расчета структурных параметров очага деформации с двумя нейтральными сечениями (см. схему рис. 6.10)

Наименование параметра	Обозначение	Формула	Примечание
Длина зоны опережения пластического участка	Xпл.опер		hн1 – ф-ла (6.39) Δh2упр – ф-ла (6.15) tg(α/2) – ф-ла (6.50)
Длина зоны отставания пластического участка	Xпл.отст	Xпл - Xпл.опер	Xпл – ф-ла (6.45)
Длина зоны отставания второго упругого участка	X2упр.отст		hн2 – ф-лы (6.55) и (6.39) tg β – ф-ла (6.51)
Длина зоны опережения второго упругого участка	X2упр.опер	X2упр - X2упр.отст	X2упр – ф-лы (6.40) и (6.41)