6. Контактные напряжения в очаге деформации и методы их расчета
6.1. Основные исходные положения расчета контактных напряжений
Определение контактных напряжений, возникающих в очаге деформации, необходимо как первый этап энергосилового расчета процесса прокатки.
От величины и направлений действия контактных напряжений, от их распределения по площади контакта полосы и валков зависят основные энергосиловые параметры – сила и мощность процесса прокатки. Не определив их, невозможно сконструировать работоспособный прокатный стан и его главный привод, невозможно рассчитать технологический режим – обжатия, натяжения, скорости полосы и их распределение между рабочими клетями прокатного стана.
В процессе расчета контактных напряжений устанавливают также структурный тип очага деформации (см. главу 5), выясняют сколько нейтральных сечений он содержит, координаты их расположения по длине очага и толщину полосы в нейтральном сечении. Эти данные, наряду с контактными напряжениями, используют в дальнейшем при определении силы и мощности прокатки.
Кроме того, их используют для оптимизации технологического режима непрерывных станов, т.к. от положений нейтральных сечений в очагах деформации рабочих клетей зависят чистота поверхности полос, их разнотолщинность, и расход энергии на процесс прокатки.
Сам термин “контактные напряжения” означает, что это напряжения, которые действуют на контактных поверхностях полосы и валков. Их общая схема показана на рис. 6.1, где для этого выделен произвольный элемент на оси прокатки на расстоянии “х” от начала координат, имеющий по оси OX длину dx и толщины: hx, hx+dhx. Его силовое взаимодействие с валками происходит по контактным поверхностям ab и cd. Поскольку полоса подвергается обжатию, контактное напряжение σконт.x, действующее со стороны валка на полосу, направлено внутрь очага деформации под некоторым (заранее неизвестным) углом к поверхности бочки.
Это напряжение можно разложить на нормальное px и касательное τx, которое по физическому смыслу представляет собой напряжение трения.
Кроме того, элемент abdc, обжимаясь при движении полосы, стремится к удлинению (т.к. действует закон постоянства объема), чему препятствуют соседние элементы. В результате по плоскостям ac и bd возникают нормальные сжимающие напряжения σx, σx+dσx. Поэтому задача расчета контактных напряжений в очаге деформации сводится к получению расчетных зависимостей: px=px(x,y,z); τx= τx(x,y,z); σx= σx(x,y,z), где y и z – координаты соответственно по толщине и по ширине полосы.
Рис. 6.1. Схема действия контактных напряжений в очаге деформации на расстоянии x от начала координат по оси прокатки (ось “z” направлена перпендикулярно плоскости xoy, т.е. по ширине полосы)
Строгое аналитическое решение этой задачи, дающее возможность найти px, τx, σx в каждой точке очага деформации, очень сложно, т.к. эти напряжения зависят от большого числа факторов (сопротивления металла деформации, условий трения, скорости и обжатия полосы, ее температуры и других).
Поэтому различные ученые решали эту задачу приближенно, принимая те или иные допущения, основанные на практическом опыте или экспериментах.
Наиболее полные и достоверные, проверенные экспериментально решения задачи расчета контактных напряжений выполнены для низкого очага деформации (по классификации главы 3 – четвертого типа), у которого отношение l/hср>5. Эти решения основаны на том, что такие очаги обычно бывают при прокатке тонких широких полос, уширением которых можно пренебречь, а влияние внешних зон на контактные напряжения в этих очагах практически отсутствует.
Учитывая указанные особенности, расчет контактных напряжений в низких очагах деформации при прокатке тонких широких полос выполняют, исходя из допущения, что в произвольном поперечном сечении полосы, имеющем координату x и толщину hx, напряжения px и τx по ширине полосы постоянны (не зависят от координаты z), а напряжение σx постоянно и по ширине, и по толщине (не зависит от координат y и z).
Таким образом, при прокатке тонких широких полос принимают, что контактные напряжения зависят только от одной координаты x:
px=px(x); τx= τx(x); σx= σx(x).
Для удобства решения задачи координату x заменяют переменной толщиной hx:
px=px(hx); τx= τx(hx); σx= σx(hx). (6.1)
Чтобы получить формулы трех неизвестных функций, выражающих зависимости контактных напряжений от толщины hx, составляют и решают систему из трех уравнений относительно трех неизвестных: px, τx, σx.
В качестве первого уравнения используют дифференциальные уравнения равновесия произвольного элемента abdc (рис. 6.1). В качестве второго – закон трения, выражающий зависимость напряжения трения τx либо от нормального напряжения px (если элемент abdc находится в области, где в контакте между полосой и валками происходит проскальзывание), либо от сопротивления чистому сдвигу материала полосы τS (если элемент abdc находится в зоне прилипания, см. главу 5).
В качестве третьего уравнения используют уравнение, характеризующее напряженно-деформированное состояние материала полосы: на пластических участках очага деформации – уравнение пластичности, на упругих участках – уравнение упругости (связь между напряжениями и деформациями, выражаемую законом Гука).
В большинстве учебников и справочников по теории прокатки, [1;2; 3;4;5;6;10;11;15;16], указанную систему из трех уравнений составляли и решали отдельно только для зон отставания и опережения, т.к. касательные напряжения τx в этих зонах имеют противоположные направления. Однако авторы не учитывали, что в упругих участках очага деформации условие пластичности не действует, и применяли его в качестве третьего уравнения для всего очага деформации.
В результате изменений в сортаменте и технологии, происшедших в конце 20 века, такой подход стал приводить к значительным погрешностям при выполнении энергосиловых расчетов процессов прокатки наиболее тонких полос.
Поэтому методика, излагаемая в данном учебнике, для повышения точности расчета энергосиловых параметров процесса прокатки тонких широких полос, предусматривает составление и решение системы трех уравнений контактных напряжений отдельно не только для зон отставания и опережения, но и для каждого упругого и пластического участка очага деформации.
Решения указанных систем изложены ниже, в п.п. 6.3., 6.4. и 6.5. Они выполняются по-разному для тонколистовых станов горячей и холодной прокатки, из-за разных законов контактного трения. В главе 5 показано, что на станах холодной прокатки зона прилипания отсутствует, на всей протяженности очага деформации действует закон трения скольжения τx=μpx. На станах горячей прокатки этот закон действует только на упругих участках, составляющих от 1 до 21% длины очага деформации, а на остальной – преобладающей – части длины действуют закономерности трения покоя, характерные для зоны прилипания. Выражение τx для этой зоны приведено в п. 6.5.
Что касается контактных напряжений, действующих в очагах деформации остальных трех типов (по классификации раздела 4 – особо высокого, высокого и средней высоты), а также в очагах деформации сортовых, рельсобалочных, трубопрокатных станов, то аналитическую методику расчета контактных напряжений в таких очагах (путем составления и решения системы трех уравнений) применить крайне трудно, т.к. эти напряжения переменны и по ширине, и по толщине, и по объему очага деформации.
В этих случаях на помощь приходят численные методы механики сплошных сред и теории пластичности, для знакомства с которыми можно рекомендовать книгу [26]. Наиболее распространенные из численных методов: метод конечных элементов (МКЭ), метод конечных разностей (МКР) и метод граничных элементов (МГЭ). Математический аппарат указанных методов использует тензорное исчисление.
Студентам, планирующим повышение научной квалификации через магистратуру и аспирантуру, мы рекомендуем, освоив базовый курс теории прокатки в объеме данного учебника, углубить свои знания в этой области самостоятельно, с использованием книги [26] и других публикаций по численным методам.
В практических инженерных расчетах процессов прокатки в высоких очагах деформации и очагах сложной формы переменные контактные напряжения чаще всего не определяют, ограничиваясь расчетом среднего значения нормального контактного напряжения pср, с использованием которого вычисляют затем силу и мощность прокатки.