Контрольные вопросы

1. Правомерно ли в условиях задачи, приводящей к фотометрическому парадоксу, считать Землю точечным объектом?

2. Влияет ли геоцентрический подход, использованный при анализе этого парадокса, на получающиеся результаты?

3. Изучите по литературе из приведенного списка содержание гравитационного парадокса Зелингера, составьте краткий конспект этой задачи и отразите его в тетради с приведением вывода (задание на дом).

4. Какую научную гипотезу можно высказать, исходя из сопоставительного анализа теоретических и опытных данных, для планет Нептуна и Плутона?

Литература

1. Антонов Ю.Г. Размышления об эволюции материи. М.: Сов. Россия, 1976. - С. 36 - 38.

2. Гинзбург В.А. Как устроена Вселенная и как она развивается во времени. М.: Знание, 1968 (серия "Физика, астрономия", № 7). - С. 6-8.

3. Силк Дж. Большой взрыв. М.: Мир, 1982. - С. 355 - 356.

4. Николсон И. Тяготение, черные дыры и Вселенная. М.: Мир, 1983. - С. 175 - 178.

Практическая работа № 29

ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Разделы программы: Новейшая революция в физике. Физика звезд.

Необходимые предварительные знания: Динамика материальной точки.

Теоретическая часть

Годом создания общей теории относительности считают 1916 г., когда А. Эйнштейн опубликовал статью "Основы общей теории относительности", где были подытожены результаты его предыдущей работы в данном направлении. Общая теория относительности (ОТО) явилась важной движущей силой новейшей революции в физике и вошла составной частью в современную естественнонаучную картину мира. Эта теория установила неразрывное единство, взаимосвязь и взаимообусловленность пространства, времени и тяготения, как одного из фундаментальных взаимодействий в природе. Как и для специальной теории относительности (СТО), здесь классическая механика Ньютона является предельным частным случаем: для СТО - при движении тела со скоростями значительно меньшими световой, для ОТО - при движении тела в относительно слабых гравитационных полях.

Как и СТО, ОТО приводит к парадоксальным с точки зрения традиционных научных подходов выводам. Проверку этих выводов на практике осуществить гораздо проблематичнее, чем для СТО. Для последней возможна разгонка элементарных частиц до околосветовых скоростей на ускорителях. Создать же на Земле или получить в ближнем космосе (в пределах Солнечной системы) ощутимые с точки зрения ОТО и достигнутого уровня измерительной техники эффекты почти невозможно. Поэтому результаты опытной проверки ОТО до сих пор не считаются окончательными.

Одним из первых, кто получил важнейшие приложения ОТО к задачам космологии, был Карл Шварцшильд (1873 - 1916) - немецкий астрофизик и астроном. Однако ряд этих результатов был получен значительно раньше (в 1798 г.) Пьером Симоном Лапласом на основе классической механики. В данной работе использован подход Лапласа с ссылками на уточнения, которые следуют из результатов ОТО.

Ход работы

1. Уясните понятие второй космической скорости v_2к. Это - скорость, которой должно обладать тело, чтобы преодолеть притяжение гравитационно связанной с ней массы и свободно удалиться от нее ("уйти в бесконечность").

Величина v_2k получается из равенства кинетической энергии тела массы m модулю ее потенциальной энергии в поле тяготения массы M:

где v_2k - радиальная составляющая скорости (ср. практическую работу по теме "Настоящее и будущее Вселенной"). В приведенной формуле R - расстояние между центрами масс тел. Однако, как правило, подразумевают, что размеры тела массы m много меньше размеров тела массы M, и первое находится в непосредственной близости от второго. То есть R  R_M, где R_M - радиус второго тела. Индекс "_M" будем опускать.

2. Учитывая, что , рассчитайте v_2k для Солнца, Земли и астероида Икара, приняв соответственно M и R :

а) 1,99 · 10 ³⁰ кг и 6,96 · 10 ⁸м;

б) 5,98 · 10 ²⁴ кг и 6,37 · 10 ⁶м;

в) 4,38 · 10 ¹² кг и 0,75 · 10 ³м.

Ответ: 618 км/с; 11,2 км/с; 0,88 м/с.

3. Из анализа формулы для v_2k и полученных числовых результатов очевидно, что с ростом отношения M/R растет v_2k. Для постоянной массы M это будет происходить при уменьшении R , т.е. при сжатии тела. Однако, увеличению v_2k (и, соответственно, уменьшению R ) препятствует предел скорости. Последняя, согласно СТО, не может быть больше скорости света в вакууме С.

Соответствующий предельный радиус R_гр называется гравитационным радиусом, а сфера радиуса R_гр , описанная вокруг центра масс тела - сферой Шварцшильда.

Эта формула остается справедливой и при выводе ее из законов ОТО.

4. Рассчитайте R_гр для примеров из п.2.

Ответ: 2,95 км; 8,86 мм; 6,49 · 10 ^-15м.

5. Гипотетическое тело, сжатое до размеров сферы Шварц­шильда, называется коллапсаром, или "черной дырой". В земных условиях такие объекты не могут существовать, и их соотносят с некоторыми, пока точно не установленными, объектами дальнего космоса. Космические аспекты проблемы коллапсаров будут рассмотрены ниже. А пока следует отметить, что коллапсар не может быть непосредственно обнаружен, т.к. никакие материальные, обладающие массой и энергией, носители не могут вырваться из его пределов наружу. Внешние же носители поглощаются им "безвозвратно" (отсюда и название - "черная дыра").

Формула для R_гр не ставит никаких ограничений (ни снизу, ни сверху) для массы М. Однако, иные соображения устанавливают по крайней мере нижний предел для М, т.е. М_min. Он обусловлен, в первом приближении, максимальной плотностью вещества, известной в земных условиях. Это - плотность ядер атомов.

_яд~10¹⁷ кг/м ³ (10 ¹⁴ г/см³).

Выведите формулу для гравитационной плотности _гр (т.е. плотности однородного шара, ограниченного сферой Шварцшильда) и рассчитайте это значение для Солнца.

Ответ:  2 · 10 ¹⁹ кг/м ³.

Сделайте вывод: может ли Солнце быть кандидатом в "черную дыру"?

6. Поскольку _гр (обоснуйте это!), то для произвольной звезды справедливо соотношение

кг/м³,

где знаки _* и  относятся соответственно к звезде и Солнцу.

Исходя из приведенной формулы, найдите линейное отношение , которое обеспечивает гравитационную плотность не выше ядерной.

Ответ: 10.

Как считает современная наука, плотность вещества так называемых нейтронных звезд на порядок выше ядерной. Следовательно, для таких звезд указанное соотношение может быть меньше и составлять . Согласно ОТО, при 1,4M_M_*3M_ в процессе "безудержного" сжатия сгоревших звезд образуются нейтронные звезды, которые, однако, не являются коллапсарами. А при M_* 3M_ образуются истинные коллапсары, или "черные дыры".

Примечание: Строго говоря, под М_ в астрофизических приложениях ОТО понимается масса гелиевого ядра звезды, которая значительно меньше массы всей звезды.

Резюме

Общая теория относительности позволяет прогнозировать существование некоторых специфических объектов во Вселенной, являющихся в настоящее время предметом усиленных поисков астрофизиков.