2.3 Основные геодезические задачи

В практике геодезических вычислений наиболее часто встречается решение трех основных задач:

• прямая геодезическая задача;

• обратная геодезическая задача;

• решение треугольника по измеренным углам и сторонам.

В зависимости от поставленных условий и требований основные геодезические задачи могут решаться на поверхности сферы или эллипсоида и на плоскости. В данном разделе рассматриваются способы решения основных геодезических задач на плоскости.

2.3.1 Прямая геодезическая задача

Прямой геодезической задачей называется способ определения координат какой-либо точки по известным координатам другой точки, дирекционному углу и расстоянию между ними.

Пусть точка A (рисунок 30) имеет координаты х₁ и у₁. Из точки А на точку В определен дирекционный угол α_1,2 и между точками измерено расстояние S.

Необходимо найти координаты х₂ и у₂ точки В.

Решение. Проведем через точки А и В линии, параллельные осям координат. Из образовавшихся построений искомые координаты точки выразятся:

х₂ = х₁ + АС;

у_{2 =} у₁ + СВ.

Следовательно, решение прямой задачи сводится к отысканию значений отрезков АС и СВ.

Отрезки АС и СВ являются катетами прямоугольного треугольника ABC и равны проекциям линии АВ на оси координат.

Проекции горизонтальных проложений линии S на оси X и Y называются приращениями координат и обозначаются соответственно AС = Δх и ВС=Δу.

Приращения координат Δх и Δу могут быть положительными и отрицательными. Знак приращения определяется значением дирекционного угла линии АВ.

Рисунок 30 – Прямая (обратная) геодезическая задача

Пример. Приращения координат точки В относительно точки А будут положительными (I четверть). Приращения координат точки A относительно точки В будут отрицательными (III четверть).

Значения приращений координат находят из соотношений прямоугольного треугольника ABC:

Δх = S·cos α_{1, 2}; Δу = S·sin α_{1, 2} (0)

отсюда значения координат точки В будут:

х₂ = х₁ + Δх = х₁ + S·Cos α_{1, 2};

у₁ + Δу = у₁ + S·Sin α_{1, 2}.

х₂ = х₁ + Δх = х₁ + S cos α_{1, 2}; (0)

у₁ + Δу = у₁ + S sin α_{1, 2}.

Практическое решение прямой геодезической задачи производится на вычислительных машинах с использованием таблиц натуральных значений тригонометрических функций.

Вычисления выполняют в следующим порядке (таблица 6).

Таблица 6 – Порядок решения прямой геодезической задачи

№ действия	Элементы формул	Величина
4 9	α1, 2 х2 = (1) + (7)	200о48'00" 6о106о845,1

Продолжение таблицы – 6

№ действия	Элементы формул	Величина
1 7 6 3 5 8 2 10 11	х1 Δх = (3)·(6) Cos α1, 2 S Sin α1, 2 Δу = (3) · (5) y1 y2 = (2) + (8) sконр =	6о115 105,3 - 8 260,2 - 0,934 826 8 836,1 - 0,55 107 - 3 137,8 7 534 664,7 7 531 526,9 8 836,1

• выписывают значения исходных данных х₁, y₁, S и α_{1, 2} (действия 1 ‑ 4);

• вычисляют приращения координат Δх и Δу (действия 5 – 8);

• вычисляют координаты х₂, y₂ точки В (действия 9 и. 10);

• проводят контроль вычислений путем определения значения s_конр по формуле

S_конр = .

Расхождение S и S_конр более чем на единицу последнего знака свидетельствует о наличии ошибок, которые выявляют повторной проверкой всех вычислений.