6. Основы компьютерной арифметики.

Обработка числовой информации по сколь-угодно сложным алгоритмам, вычисление сложнейших математических выражений (решение нелинейных и трансцендентных уравнений, решение систем линейных и нелинейных с огромным числом неизвестных, решение дифференциальных уравнений обычных и в частных производных, и их систем и т.п.), а также моделирование сложнейших процессов и явлений, мультимедийные построения, все это, в конечном счете, осуществляются в компьютерах с помощью обычных четырех действий арифметики.

Сведение же решения всех этих указанных задач к четырем арифметическим действиям является основной целью вычислительной математики, в настоящее время самостоятельной области математической науки. Реализация этих алгоритмов осуществляется с помощью программного обеспечения компьютера.

Обработка числовой информации в компьютере, в подавляющем большинстве случаев, осуществляется в двоичной системе счисления, поскольку основная форма представления чисел в них – двоичная. Напомним основные правила двоичной арифметики и, используемых при обработке, основных логических функциях.

Арифметические операции Логические операции

сложение конъюнкция дизъюнкция

0 + 0 = 0 0 & 0 = 0 0 0 = 0

0 + 1 = 1 0 & 1 = 0 0 1 = 1

1 + 0 = 1 1 & 0 = 0 1 0 = 1

1 + 1 = 0 → (перенос) 1 & 1 = 1 1 1 = 1

Вычитание инверсия неравнозначность

0 – 0 = 0

0 – 1 = 1→ (заем)

1 – 0 = 1

1 – 1 = 0

При выполнении арифметических операций умножения и деления необходима еще операция сдвига кодов.

Напомним, что логические операции с многоразрядными двоичными числами выполняются поразрядно, т.е. в каждом разряде отдельно, независимо друг от друга. Что касается арифметических операций с многоразрядными числами, то надо иметь в виду, что правило их выполнения во всех во всех позиционных системах счисления аналогичны. Поэтому правила осуществления арифметических операций с многоразрядными двоичными числами, аналогичны правилам осуществления арифметических операций с многоразрядными десятичными числами.

Кроме самого результата операции, в процессорах компьютеров фиксируется ряд признаков, характеризующих полученный результат. Их состояние отображается появлением 0 или 1 в соответствующем разряде специального регистра, называемого регистром флагов (признаков). Появление в таком разряде 1, называют установкой соответствующего флага. Обычно отображаются 6 основных признаков (флагов) осуществления арифметических операций:

• Перенос из старшего разряда (устанавливается в 1 флаг CF – Carry Flag). Используется процессором при осуществлении сдвиговых операций, а также как признак переполнения разрядной сетки при операциях с целыми числами без знака. Является также аргументом при исполнении соответствующих команд условных переходов. Кроме того, этот флаг используется процессором при операциях с числами, разрядность которых превышает разрядность текущих регистров процессора, например, при необходимости операций с 64 разрядными числами в процессорах архитектуры IA-32, т.е. в процессорах, разрядность регистров которых равна 32 битам. В этом случае состояние этого флага, после проведения операции с младшими 32 разрядами числа, суммируется с результатом последующей операции над старшими разрядами этого числа.

• Четность числа единиц в коде младшего байта результата (устанавливается в 1 флаг PF – Parity Flag). Используется этот флаг процессором для контроля правильности передачи кодов, а также как аргумент при исполнении соответствующих команд условных переходов.

• Перенос из первой тетрады младшего байта результата в его старшую тетраду (устанавливается в 1 флаг AF – Auxiliary Flag). Флаг используется процессором только при обработке двоично-десятичных кодов, вводя соответствующую коррекцию в полученный результат.

• Признак нулевого результата (устанавливается в 1 флаг ZF – Zero Flag). Процессором этот флаг используется как аргумент при исполнении соответствующих команд условного перехода.

• Признак отрицательного результата (устанавливается в 1 флаг SF – Sign Flag). Этот флаг определяет результат как представленный в дополнительном коде, а также используется процессором как аргумент при исполнении команд условного перехода.

• Признак переполнения разрядной сетки (устанавливается в 1 флаг OF – Overflow Flag). Определяется как функция неравнозначности переносов в знаковый разряд результата и из знакового разряда. Используется процессором при обработке двоичных чисел со знаком, а также в командах умножения и деления.

Арифметические операции с числами можно разделить на следующие группы операций.

1. Операции с целыми двоичными и двоично-десятичными числами:

а) операции с целыми двоичными и двоично-десятичными числами без знака(адресами, номерами, содержимым счетчиков, кодами команд, символами и т.п.);

б) операции с целыми двоичными числами со знаком (целые двоично-десятичные числа со знаком используются крайне редко).

2. Операции с вещественными двоичными числами (вещественные числа в двоично-десятичном формате используются крайне редко).