3. Нормальные операторы в евклидовом пространстве.

Нормальный оператор 16 в евклидовом пространстве S остается нормальным и при его продолжении на комплексификацию 17 пространства S. Поэтому в S существует ортонормальный базис из собственных векторов, диагонализующий матрицу оператора А.

Для вещественных собственных значений можно взять вещественные собственные векторы, т. е. лежащие в S. Действительно, координаты собственных векторов относительно базиса 18 определяются из линейных однородных уравнений с вещественными коэффициентами в случае вещественности собственного значения.

Комплексные собственные значения появляются парами сопряженных с одинаковой кратностью. Выбрав ортонормальный базис из собственных векторов, принадлежащих некоторому собственному значению 19 при 20 базис из собственных векторов для собственного значения 21 можно взять из векторов, сопряженных с векторами базиса собственных значений для X. Такой базис будет ортонормальный. Теперь натянем на каждую пару и 22 сопряженных векторов двумерное комплексное подпространство.

Самосопряженные операторы в евклидовом пространстве.

Нормальный оператор в евклидовом пространстве самосопряжен в том и только в том случае, если все его собственные значения вещественны. Действительно, самосопряженный оператор в евклидовом пространстве остается самосопряженным и в комплексификации. Поэтому существует ортонормальный базис в самом евклидовом пространстве, в котором его матрица диагональна. В терминах матриц это значит, что для любой вещественной симметричной матрицы А существует ортогональная матрица С такая, что 42 диагональна. Это обстоятельство было выяснено еще в гл. V в связи с ортогональным преобразованием квадратичной формы к каноническому виду. Тесная связь между теорией самосопряженных операторов в евклидовом пространстве с теорией квадратичных форм ясно видна из того, что скалярное произведение 43 выражается через координаты вектора 44 в ортонормальном базисе в виде квадратичной формы с матрицей, равной матрице оператора М в том же базисе, и при ортогональном преобразовании координат матрица оператора и матрица квадратичной формы преобразуются одинаково:

ибо для ортогональной матрицы 45

Для самосопряженных операторов в евклидовом пространстве имеют место те же свойства, которые отмечались для самосопряженных операторов в унитарном пространстве, и их доказательства ничем не отличаются от доказательств в случае унитарного пространства.

11.Кривая на плоскости. Уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Виды кривых второго порядка.

Угол между прямыми.

Угол ( между 2-мя параллельными прямыми равен 0, тогда tg(=0; с другой

стороны, из условия параллельности, т.е. из равенства k1= k2, следует, что

k1- k2=0 и по формуле tg(=k2-k1/1+k1k2-угол между 2-мя пересекающимися

прямыми-получаем: k1-k2/1+k1k2=0.

12.Кривые и поверхности в пространстве. Различные уравнения плоскости. Уравнение прямой в пространстве. Расстояние от точки до прямой или плоскости. Угол между плоскостями и прямыми.

Виды уравнений плоскости.

Существуют следующие виды ур-ий плоскости:

1) Общее ур-е плоскости:

Ax+By+Cz+D=0, где (n=(A,B,C)- нормальный вектор плоскости. 2) ур-е плоскости, проходящей через точку М1(x1;y1;z1) перпендикулярно вектору (n=(A,B,C): A(x-x1)+B(y-y1)+C(z-z1)=0. 3)Ур-е плоскости в отрезках:

x/a+y/b+z/c=1, где a,b,c-величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат.

4)Нормальное ур-е плоскости: x(Cos () +y(Cos ()+z(Cos ()+(=0,

где Cos (, Cos (, Cos (-направляющие Cos –сы нормального вектора; (-расстояние от начала координат до плоскости. Общее ур-е приводится к нормальному виду путём умножения на нормирующий множитель.

5)Ур-е плоскости, проходящей через три заданные точки: М1(x1;y1;z1), М2(x2;y2;z2),

М3(x3;y3;z3).

(x-x1 y-y1 z-z1(

(x2-x1 y2-y1 z2-z1( =0.

(x3-x1 y3-y1 z3-z1(