4.Матрицы и линейные операции над ними. Произведение матриц, обратная матрица. Ранг матрицы.

Матрицы одинаковой размерности называются равными, если у них соответственно равны элементы, стоящие на одинаковых местах.

  Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны 0.

Квадратная матрица называется единичной, если элементы, стоящие на ее главной диагонали, равны 1, а остальные равны 0.

К линейным операциям над элементами множества или пространства относятся операции сложения элементов и их умножения на скаляр (число). 

Умножение матрицы на число  При умножении матрицы  A  на число  λ  (слева или справа) каждый ее матричный элемент умножается на это число:

Сложение матриц  Операция сложения определена только для матриц одинаковых размеров. Результатом сложения матриц  A = || a_i j ||  и  B = || b_i j ||  является матрица  C = || c_i j || , элементы которой равны сумме соответствующих матричных элементов:

Линейной комбинацией матриц A и B называется выражение вида  αА+βВ, где  α  и β  – числовые коэффициенты.

Линейные операции над матрицами. 

1. Сложение матриц.

Суммой матриц А и В одинаковой размерности m_Xn называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов матриц А и В, стоящих на тех же местах: 

                       Свойства сложения:

1.        А + В = В + А.

2.        (А + В) + С = А + (В + С) .

3.        Если О – нулевая матрица, то А + О = О + А = А

Замечание 1. Справедливость этих свойств следует из определения операции сложения матриц.

Замечание 2. Отметим еще раз, что складывать можно только матрицы одинаковой размерности.

2.        Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число.

                          Свойства умножения матрицы на число:

1.        (km)A=k(mA).

2.        k(A + B) = kA + kB.

3.        (k + m)A = kA + mA.

Операции над матрицами

Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица того же размера с элементами, равными суммам соответствующих элементов слагаемых матриц, т.е. .

Сложение матриц обладает следующими свойствами:

1.Коммутативность, т.е. .

2.Ассоциативность, т.е. .

3.Для любых двух матриц и одинакового размера существует единственная матрица такая, что . Матрица обозначается и называется разностью матриц и . Уравнение имеет решение , получающаяся при этом матрица называется противоположной и обозначается .

Произведением матрицы на число называется матрица, все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы , умноженным на число .

Умножение матрицы на действительное число обладает следующими свойствами:

1. ;

2. ;

3. ;

4. (ассоциативность);

5. (дистрибутивность);

6. (дистрибутивность).

Матрица называется согласованной с матрицей , если число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . В этом случае произведением матрицы на матрицу называется матрица , где , т.е. элемент, стоящий в -той строке и -том столбце матрицы произведения равен сумме произведений элементов -той строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы .

Свойства умножения:

1.Если матрица согласована с матрицей , а матрица согласована с матрицей , то ‑ ассоциативность умножения;

2. ‑ свойство дистрибутивности;

3.Умножение матриц не коммутативно, т.е., как правило, .

Обратная матрица

Теорема . Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Матрица, обратная матрице А, обозначается через А ^1 , так что В = А ^1 . Обратная матрица вычисляется по формуле где А _{i j} - алгебраические дополнения элементов a _{i j}.

Вычисление обратной матрицы по формуле для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить обратную матрицу с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения ее ранга можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.

Ранг матрицы

Рангом матрицы называется наибольший порядок ее миноров, отличных от нуля. Ранг матрицы обозначают или .

Если все миноры порядка данной матрицы равны нулю, то все миноры более высокого порядка данной матрицы также равны нулю. Это следует из определения определителя. Отсюда вытекает алгоритм нахождения ранга матрицы.

Если все миноры первого порядка (элементы матрицы ) равны нулю, то . Если хотя бы один из миноров первого порядка отличен от нуля, а все миноры второго порядка равны нулю, то . Причем, достаточно просмотреть только те миноры второго порядка, которые окаймляют ненулевой минор первого порядка. Если найдется минор второго порядка отличный от нуля, исследуют миноры третьего порядка, окаймляющие ненулевой минор второго порядка. Так продолжают до тех пор, пока не придут к одному из двух случаев: либо все миноры порядка , окаймляющие ненулевой минор -го порядка равны нулю, либо таких миноров нет. Тогда .