
- •1.Векторы. Линейные операции над ними. Зависимость векторов. Базис. Декартова система координат. Деление отрезка в данном отношении.
- •Проекция вектора на ось
- •Линейная зависимость векторов
- •Базис. Координаты вектора в базисе
- •Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении
- •2.Различные формы произведения векторов. Условие ортогональности, коллинеарности и компланарности векторов. Скалярное произведение
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение
- •3.Определители второго и третьего порядка и их свойства. Определители n-го порядка и их свойства.
- •Свойства определителя n-го порядка Свойство 1. При замене строк столбцами (транспонировании) значение определителя не изменится
- •4.Матрицы и линейные операции над ними. Произведение матриц, обратная матрица. Ранг матрицы.
- •Операции над матрицами
- •5.Системы линейных алгебраических уравнений, общие понятия. Различные методы решения.
- •Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- •Метод Гаусса
- •6.Произвольные системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
- •Критерий совместности системы линейных уравнений
- •Однородные системы уравнений
- •8.Евклидовы пространства. Норма вектора. Ортонормированный базис. Процесс ортогонализации. Неравенство Коши-Буняковского.
- •2. Метрическое пространство, соответствующее пространству описанному выше. То есть с метрикой, введённой по формуле:
- •(Неравенство треугольника);
- •3. Нормальные операторы в евклидовом пространстве.
- •11.Кривая на плоскости. Уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Виды кривых второго порядка.
- •12.Кривые и поверхности в пространстве. Различные уравнения плоскости. Уравнение прямой в пространстве. Расстояние от точки до прямой или плоскости. Угол между плоскостями и прямыми.
- •13.Квадратичные формы, приведение их к каноническому виду. Знакоопределенность форм. Критерий Сильвестра. Понятие квадратичной формы
- •Канонический базис квадратичной формы
- •Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы положительны.
- •15.Элементы теории множеств и математической логики. Действительные числа. Грани. Понятие функции. Обратная функция.
- •16.Понятие последовательности и ее предела. Бесконечно малые. Свойства пределов. Монотонные последовательности. Число «е».
- •Бесконечный предел
- •17.Предел функции. Понятие непрерывности и свойства функций, непрерывных в точке. Точки разрыва. Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых. Непрерывность функции
- •Точки разрыва
- •18.Функции, непрерывные на отрезке, и их свойства. Равномерная непрерывность. Равномерная непрерывность
- •19.Понятие производной, ее геометрический и физический смысл. Основные правила дифференцирования. Таблица производных.
- •1) Физический смысл производной.
- •2) Геометрический смысл производной.
- •Правила дифференцирования
- •20.Дифференциал и его применения. Производные и дифференциалы высших порядков. Производные высших порядков
- •22.Правило Лопиталя и формула Тейлора.
- •2.Существует конечный или бесконечный предел . Тогда: .
- •23.Исследование функции на экстремум, монотонность и точки перегиба функции. Монотонность функции
- •Выпуклость и перегибы графика функции
- •Локальный экстремум
- •Глобальный экстремум
- •24.Свойства комплексных чисел. Разложение многочленов на множители. Представление рациональной функции в виде суммы элементарных дробей.
- •26.Интегрирование рациональных функций, некоторых иррациональностей и тригонометрических выражений. Интегрирование рациональных функций. Метод рационализации
- •Основные правила интегрирования
- •29.Приближенное вычисление определенных интегралов. Несобственные интегралы. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •Несобственные интегралы
Локальный экстремум
Точка
называется точкой локального
максимума
функции
,
если существует интервал
,
содержащий точку
такой что
.
Точка
называется точкой локального
минимума
функции
,
если существует интервал
,
содержащий точку
такой что
.
Точки локального минимума и локального максимума называются точками локального экстремума.
Необходимым
условием локального экстремума
дифференцируемой функции является
выполнение равенства
.
Поэтому точки, в которых дифференцируемая
функция может иметь локальный экстремум,
находят, решая уравнение:
.
Решения этого уравнения называют стационарными точками.
Глобальный экстремум
Непрерывная
на отрезке
функция
принимает свое наибольшее значение
и свое наименьшее значение
в точках этого отрезка. Эти значения
могут достигаться либо в стационарных
точках отрезка, либо в точках
недифференцируемости функции, либо в
граничных точках отрезка. Поэтому для
нахождения значений
и
поступают следующим образом.
Находят стационарные точки
функции;
Находят точки
, в которых производная
не существует или обращается в бесконечность;
Вычисляют значения:
‑ и
выбирают среди этих чисел наибольшее
и наименьшее.
Это и будут и ‑ глобальные экстремальные значения.
24.Свойства комплексных чисел. Разложение многочленов на множители. Представление рациональной функции в виде суммы элементарных дробей.
Комплексные
числа —
числа вида
,
где
и
—
вещественные числа,
— мнимая
единица;
то есть
.
Множество всех комплексных чисел обычно
обозначается
Первоначально идея о необходимости расширения понятия действительного числа возникла в результате формального решения квадратных и кубических уравнений, в которых в формулах для корней уравнения под знаком корня стояло отрицательное число. В дальнейшем возникшая теория функций комплексного переменного нашла применение для решения многих задач во всех областях математики и физики.
Тождественное преобразование, приводящее к произведению нескольких множителей - многочленов или одночленов, называют разложением многочлена на множители. В этом случае говорят, что многочлен делится на каждый из этих множителей.
-Вынесение общего множителя за скобки. Это преобразование является непосредственным следствием распределительного закона ac + bc = c(a + b).
-Использование формул сокращенного умножения. Формулы сокращённого умножения позволяют довольно эффективно представлять многочлен в форме произведения.
-Способ группировки. Этот способ заключается в том, что слагаемые многочлена можно сгруппировать различными способами на основе сочетательного и переместительного законов. На практике он применяется в тех случаях, когда многочлен удается представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен окажется представленным в виде произведени.
-Способ выделения полного квадрата. Метод выделения полного квадрата является одним из наиболее эффективных методов разложения на множители. Суть его состоит в выделении полного квадрата и последующего применения формулы разности квадратов.
Для
интегрирования рациональной функции
,
где P(x) и Q(x) -
полиномы, используется следующая
последовательность шагов:
Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;
Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;
Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;
Вычислить интегралы от простейших дробей.
25.Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Основные методы вычисления.
Понятие неопределенного интеграла
Интегрирование
–
операция,
обратная дифференцированию, которая
позволяет определять функцию
,
для которой заданная функция
является ее производной:
.
Другими словами, если операция дифференцирования состоит в нахождении производной, то интегрирование – это операция отыскания первообразной.
Функция
называется первообразной для функции
,
на промежутке
,
если для каждой точки этого промежутка
.
Теорема.
Если
и
– любые две первообразные для данной
функции
на промежутке
,
то для всех
выполняется равенство
.
Доказательство:
Таким
образом, все семейство первообразных
для данной функции
имеет вид
,
где
одна из первообразных, а
произвольная постоянная.
Совокупность всех первообразных для функции на промежутке называется неопределенным интегралом функции .
Неопределенный интеграл обозначается следующим образом:
,
где
знак интеграла;
подынтегральная
функция;
подынтегральное
выражение.
Свойства неопределенного интеграла
1.Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функцией:
2.
Эти свойства означают, что интегрирование и дифференцирование – взаимно обратные операции.
3.Если
и
– интегрируемые функции, т.е. на
промежутке
они имеют первообразные, то сумма
функций
также интегрируема и
.
4.Если
– интегрируемая функция, а
постоянная величина, то
– также интегрируемая функция и
.
Таким образом, свойства 3 и 4 указывают на линейность операции интегрирования:
,
где
постоянные;
интегрируемые
функции.
5.Если
,
а также
дифференцируемая функция, то
.
Простым обращением известных формул дифференцирования элементарных функций получается таблица простейших неопределенных интегралов.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;