Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
MATEMATIKA_OTVETY.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
579.49 Кб
Скачать

Локальный экстремум

Точка называется точкой локального максимума функции , если существует интервал , содержащий точку такой что .

Точка называется точкой локального минимума функции , если существует интервал , содержащий точку такой что .

Точки локального минимума и локального максимума называются точками локального экстремума.

Необходимым условием локального экстремума дифференцируемой функции является выполнение равенства . Поэтому точки, в которых дифференцируемая функция может иметь локальный экстремум, находят, решая уравнение: .

Решения этого уравнения называют стационарными точками.

Глобальный экстремум

Непрерывная на отрезке функция принимает свое наибольшее значение и свое наименьшее значение в точках этого отрезка. Эти значения могут достигаться либо в стационарных точках отрезка, либо в точках недифференцируемости функции, либо в граничных точках отрезка. Поэтому для нахождения значений и поступают следующим образом.

  • Находят стационарные точки функции;

  • Находят точки , в которых производная не существует или обращается в бесконечность;

  • Вычисляют значения:

‑ и выбирают среди этих чисел наибольшее и наименьшее.

Это и будут и ‑ глобальные экстремальные значения.

24.Свойства комплексных чисел. Разложение многочленов на множители. Представление рациональной функции в виде суммы элементарных дробей.

Комплексные числа  — числа вида  , где   и   — вещественные числа,   — мнимая единица; то есть  . Множество всех комплексных чисел обычно обозначается   

Первоначально идея о необходимости расширения понятия действительного числа возникла в результате формального решения квадратных и кубических уравнений, в которых в формулах для корней уравнения под знаком корня стояло отрицательное число. В дальнейшем возникшая теория функций комплексного переменного нашла применение для решения многих задач во всех областях математики и физики.

Тождественное преобразование, приводящее к произведению нескольких множителей - многочленов или одночленов, называют разложением многочлена на множители. В этом случае говорят, что многочлен делится на каждый из этих множителей.

-Вынесение общего множителя за скобки. Это преобразование является непосредственным следствием распределительного закона ac + bc = c(a + b).

-Использование формул сокращенного умножения. Формулы сокращённого умножения позволяют довольно эффективно представлять многочлен в форме произведения.

-Способ группировки. Этот способ заключается в том, что слагаемые многочлена можно сгруппировать различными способами на основе сочетательного и переместительного законов. На практике он применяется в тех случаях, когда многочлен удается представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен окажется представленным в виде произведени.

-Способ выделения полного квадрата. Метод выделения полного квадрата является одним из наиболее эффективных методов разложения на множители. Суть его состоит в выделении полного квадрата и последующего применения формулы разности квадратов.

Для интегрирования рациональной функции  , где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов:

  1. Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;

  1. Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;

  1. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;

  1. Вычислить интегралы от простейших дробей.

25.Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Основные методы вычисления.

Понятие неопределенного интеграла

Интегрирование операция, обратная дифференцированию, которая позволяет определять функцию , для которой заданная функция является ее производной:

.

Другими словами, если операция дифференцирования состоит в нахождении производной, то интегрирование – это операция отыскания первообразной.

Функция называется первообразной для функции , на промежутке , если для каждой точки этого промежутка .

Теорема. Если и – любые две первообразные для данной функции на промежутке , то для всех выполняется равенство .

Доказательство:

Таким образом, все семейство первообразных для данной функции имеет вид , где одна из первообразных, а произвольная постоянная.

Совокупность всех первообразных для функции на промежутке называется неопределенным интегралом функции .

Неопределенный интеграл обозначается следующим образом:

,

где знак интеграла;

подынтегральная функция;

подынтегральное выражение.

Свойства неопределенного интеграла

1.Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функцией:

2.

Эти свойства означают, что интегрирование и дифференцирование – взаимно обратные операции.

3.Если и – интегрируемые функции, т.е. на промежутке они имеют первообразные, то сумма функций также интегрируема и .

4.Если – интегрируемая функция, а постоянная величина, то – также интегрируемая функция и .

Таким образом, свойства 3 и 4 указывают на линейность операции интегрирования:

,

где постоянные;

интегрируемые функции.

5.Если , а также дифференцируемая функция, то .

Простым обращением известных формул дифференцирования элементарных функций получается таблица простейших неопределенных интегралов.

    1. ;

    2. ;

    3. ;

    1. ;

    2. ;

    3. ;

    4. ;

    5. ;

    6. ;

    7. ;

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]