1.Векторы. Линейные операции над ними. Зависимость векторов. Базис. Декартова система координат. Деление отрезка в данном отношении.
Вектором назыв.направленный отрезок опред-ся длиной и направлением в пространстве, бывают векторы несвободные. Скользящие векторы находят наиб-ее распространение, он может быть приложен к любой точке пространства и будет одинаков. Векторы равны (скользящие), если равны их длины и они одинаково направлены. Векторы назыв. коллинеарными, если они расположены на параллельных прямых.
Скалярной величиной или скаляром называется величина, которая полностью определяется одним числом, выражающим отношение этой величины к соответствующей единице измерения, например, цена, количество проданного товара, стоимость и т.д.
Векторной величиной или вектором называется величина, для задания которой кроме численного значения необходимо указать и ее направление в пространстве, например, изменение темпов производства (рост или падение), колебание курса акций на бирже и т.д.
Векторная величина графически обычно изображается как связанный вектор или направленный отрезок, т.е. отрезок прямой, у которого указано, какая из ограничивающих точек является его началом, а какая концом. Но в отличие от направленного отрезка, для описания которого необходимо указать начальную точку, длину и направление, свободный вектор или просто вектор представляет собой множество всех эквивалентных между собой связанных векторов и вполне характеризуется: направлением; длиной (модулем).
Линейные операции над векторами
Сложение
вектора производится по правилу
параллелограмма: векторы
и
сносятся в общую точку
(рис. 4.1), на них строят параллелограмм
и его диагональ
называют суммой
векторов
и
..
Разностью
двух векторов
и
,
отложенных от одной точки
является вектор, направленный из конца
вычитаемого вектора
в конец уменьшаемого вектора
,
т.е.
(Рис. 4.2.). Это правило следует из формулы
(1): т.к.
,
то
.
Векторы можно не только складывать и вычитать, но и умножать на числа (скаляры).
Вектор
равен
,
где
‑ некоторое число, если:
1. коллинеарен ;
2.длина
вектора
отличается от длины вектора
в
раз, т.е.
;
при
,
и
направлены в одну сторону, при
‑ в разные.
Произведение вектора на скаляр обладает следующими свойствами:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
.
Проекция вектора на ось
Пусть
даны ось
и вектор
.
Проектируя начало и конец вектора на
ось
,
получим на ней вектор
.
Проекцией
вектора
на ось
называется число, равное длине вектора
,
взятой со знаком плюс или минус в
зависимости от того, направлен ли вектор
в ту же сторону, что и ось
или в противоположную. Проекция вектора
на ось
обозначается
.
Свойства проекций:
1.
,
где
‑ угол между вектором
и осью
;
2.
;
3.
.
Пусть
–
произвольная конечная система векторов;
‑ произвольная система действительных
чисел. Вектор
называется линейной комбинацией
векторов этой системы.
Из свойства проекций следует, что:
