Решение транспортных задач методом потенциалов

Постановка задачи

Имеется L пунктов отправления (складов) – А₁, А₂, А₃, ... A_L, в которых сосредоточены запасы товаров a₁, а₂, а₃ ... a_L. Кроме того имеется N пунктов потребления – В₁, В₂, В₃, ... В_N, потребности каждого из которых в₁, в₂, в₃ ... в_N.

Перед тем как приступить к решению, необходимо, чтобы было выполнено равенство

Если равенство выполняется, транспортная задача - закрытая, если нет – открытая. Должны быть известны стоимости перевозки из i-го пункта А_i в k-й пункт В_k (C_ik).

Требуется найти оптимальный план перевозок, т.е. рассчитать, какое количество продукции необходимо отправить из пунктов отправления в пункты назначения, чтобы стоимость перевозок была минимальной.

Общий алгоритм

Составляется начальный план перевозок. Для этого заполняются клетки плана, где наименьшая стоимость перевозки. При этом при­держиваются следующего правила: на каждом шаге или исчерпыва­ем запас соответствующего пункта отправления, или удовлетворяем потребность соответствующего пункта назначения.

Условие задачи. Необходимо отправить автомобили из трех баз в четыре магазина. На базах A₁, А₂, А₃ имеется соответственно 50, 30, 40ед. товара. Спрос магазинов В₁, В₂, В₃, В₄ – соответственно 50, 10, 40, 20ед. товара.

Равенство запасов на базах и потребностей магазинов для данной задачи выполняется. Можем приступать к решению. Составляем , согласно правилу, следующую матрицу (табл. 8.16). В правом ни жнем углу ячейки указана стоимость перевозки единицы товара (тыс.руб.) из соответствующей базы в соответствующий магазин.

Таблица 8.16

Исходный план грузоперевозок

	в1	в2	в3	в4	Запас	Потенциал
А1 А2 А3 Спрос Потенциал	4 30 1 20 5 50 β1	3 2 10 1 10 β2	40 1 4 3 40 β3	10 2 3 10 2 20 β4	50 30 40 120	а1 а2 а3

Вычисляем стоимость перевозки:

S=30∙1+20∙5+10∙1+40∙1+10∙2+10∙2=220тыс.руб.

Нужно проверить, насколько оптимален такой план. Для этого используется метод потенциалов, который состоит в следующем. Необходимо, во-первых, определить величину потенциалов а₁, а₂, а₃ и β₁, β₂, β₃, β₄. Для этого составляется система уравнений для занятых клеток:

Итак,

Используя расчетные величины потенциалов, определяем их суммы для соответствующих незанятых клеток и сравниваем с размером стоимости перевозки для данной клетки. Если эта сумма больше, план не является оптимальным.

Для улучшения плана в клетке, где условие не выполняется, число следует увеличить до максимально возможного значения, которое обозначаем буквой Z (табл. 8.17).

Таблица 8.17

Улучшенный план грузоперевозок

	в1	в2	в3	в4	Запас	Потенциал
А1 А2 А3 Спрос Потенциал	Z=10 4 30 1 20 5 50 β1	3 2 10 1 10 β2	40 1 4 3 40 β3	2 3 20 2 20 β4	50 30 40 120	а1 а2 а3

Затем вновь определяем потенциалы, записав систему уравнений для занятых клеток. Проверяем условие для незанятых клеток и видим, что все условия выполняются. Следовательно, план явля­ется оптимальным.

Рассчитываем стоимость перевозки:

S=10∙4+30∙1+10∙5+10∙1+40∙1+20∙2=210тыс.руб.

Задача решена.

Если мы имеем дело с открытой транспортной задачей, ее необходимо преобразовать в закрытую.

1. Рассмотрим случай, когда запас превышает спрос. Для этого в плане предусматривается фиктивный пункт назначения, для которого спрос равен разности между общим запасом и действительным спросом:

Все затраты на доставку груза в этот фиктивный пункт назначения принимаются равными нулю, поэтому целевая функция (S) не изменится. Груз, который, согласно полученному решению, нужно отправить в фиктивный пункт назначения, на самом деле останется на месте.

2. Если спрос превышает предложение, вводится фиктивный пункт отправления, запас которого равен разности общего действительного спроса и общего действительного запаса:

Затраты на доставку из этого пункта равны нулю, поэтому целевая функция (S) не изменится, а груз из фиктивного пункта отправления на самом деле никуда не поступает.

Следует отметить, что основной недостаток классических транспортных задач (при реализации на практике) заключается в сложности определения стоимости перевозки единицы товара из соответствующей базы в соответствующий магазин.